Para cada uma das seguintes funções, Verifique se f é injetora e/ou sobrejetora. Se f for bijetora, encontre a inversa.
f: \mathbb{R} \longrightarrow(0,2], \quad f(x)=\frac{2}{1+|x|}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f\colon \mathbb{R}\longrightarrow(0,2],\quad f(x)=\frac{2}{1+|x|},
e pede para verificar se f é injetora e/ou sobrejetora. Se for bijetora, ainda devemos achar a inversa. Para isso vamos usar:
  • definição de injetividade: f(x_{1})=f(x_{2})\implies x_{1}=x_{2},
  • definição de sobrejetividade: \mathrm{Im}(f)= codomínio.

Passo 2

Note que f(x) depende apenas de t=|x|, com t\ge0. Definindo
g(t)=\frac{2}{1+t},\quad t\ge0,
vemos que g é estritamente decrescente em [0,\infty), pois sua derivada
g'(t)=-\frac{2}{(1+t)^{2}}<0
para todo t\ge0.

Passo 3

Como g(0)=2 e \lim_{t\to+\infty}g(t)=0, o valor de g(t) percorre o intervalo (0,2]. Portanto
\mathrm{Im}(f)=\{\,g(|x|)\mid x\in\mathbb{R}\}=(0,2],
que é exatamente o codomínio. Concluímos que f é sobrejetora.

Passo 4

Para testar injetividade, suponha
f(x_{1})=f(x_{2}) \;\Longrightarrow\; \frac{2}{1+|x_{1}|}=\frac{2}{1+|x_{2}|} \;\Longrightarrow\; |x_{1}|=|x_{2}|.
Da igualdade |x_{1}|=|x_{2}| segue x_{2}=x_{1} ou x_{2}=-x_{1}. Logo, existem pares distintos (x_{1},x_{2}) com x_{2}=-x_{1} que geram o mesmo valor de f. Logo f não é injetora.

Resposta

f é sobrejetora, mas não é injetora. Como não é bijetora, não existe inversa definida em todo \mathbb{R}.

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