Para cada uma das seguintes funções, Verifique se
é injetora e/ou sobrejetora. Se
for bijetora, encontre a inversa.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se
é injetora e/ou sobrejetora. Se for bijetora, ainda devemos achar a inversa. Para isso vamos usar:
- definição de injetividade:
, - definição de sobrejetividade:
codomínio.
Passo 2
Note que
depende apenas de
, com
. Definindo
vemos que
é estritamente decrescente em
, pois sua derivada
para todo
.
Passo 3
Como
e
, o valor de
percorre o intervalo
. Portanto
que é exatamente o codomínio. Concluímos que
é sobrejetora.
Passo 4
Para testar injetividade, suponha
Da igualdade
segue
ou
. Logo, existem pares distintos
com
que geram o mesmo valor de
. Logo
não é injetora.