Sobre funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, julgue os itens abaixo em verdadeiro ou falso:
a) Toda função injetora é sobrejetora.
b) Quando elementos diferentes geram imagens diferentes, temos uma função sobrejetora.
c) Toda função bijetora admite inversa.
d) Quando a imagem é igual ao contradomínio temos uma função sobrejetora.
e) Se uma função é bijetora, então é sobrejetora.
f) Uma função afim, do tipo
, com
, é bijetora.
g) Qualquer função quadrática é bijetora.
h) Se qualquer reta paralela ao eixo das abscissas
intercepta o gráfico de uma função em um único ponto, então a função é injetora.
i) Se uma função é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, então a função é bijetora.
j) Se uma função é bijetora, então ela é injetora.
a) Toda função injetora é sobrejetora.
b) Quando elementos diferentes geram imagens diferentes, temos uma função sobrejetora.
c) Toda função bijetora admite inversa.
d) Quando a imagem é igual ao contradomínio temos uma função sobrejetora.
e) Se uma função é bijetora, então é sobrejetora.
f) Uma função afim, do tipo
g) Qualquer função quadrática é bijetora.
h) Se qualquer reta paralela ao eixo das abscissas
i) Se uma função é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, então a função é bijetora.
j) Se uma função é bijetora, então ela é injetora.
Passo 1
O enunciado pede para julgarmos dez afirmações sobre funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. O conteúdo principal envolve as definições de injeção, sobrejeção, bijeção e algumas propriedades clássicas (inversa, testes gráficos, exemplos de funções afim e quadrática).
Passo 2
Definições fundamentais:
– Uma função é injetora se elementos distintos de
têm imagens distintas em
.
– Uma função é sobrejetora se para todo
existe
com
, ou seja, a imagem de
coincide com o contradomínio
.
– Uma função é bijetora se é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Nesse caso existe a função inversa .
– Uma função
– Uma função
– Uma função é bijetora se é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Nesse caso existe a função inversa
Passo 3
Analisando as afirmações que confundem injeção e sobrejeção:
a) “Toda função injetora é sobrejetora.” Pela definição, não há nenhuma garantia de que cobrirá todo o contradomínio, logo é falsa.
b) “Quando elementos diferentes geram imagens diferentes, temos uma função sobrejetora.” Isso descreve exatamente a definição de injetora, não de sobrejetora, portanto é falsa.
a) “Toda função injetora é sobrejetora.” Pela definição, não há nenhuma garantia de que cobrirá todo o contradomínio, logo é falsa.
b) “Quando elementos diferentes geram imagens diferentes, temos uma função sobrejetora.” Isso descreve exatamente a definição de injetora, não de sobrejetora, portanto é falsa.
Passo 4
Afirmações diretas das definições de bijeção e inversa:
c) “Toda função bijetora admite inversa.” Isso é verdadeiro, pois bijeção equivale a ter inversa.
d) “Quando a imagem é igual ao contradomínio temos uma função sobrejetora.” Essa é a definição de sobrejeção, logo verdadeiro.
e) “Se uma função é bijetora, então é sobrejetora.” Bijeção implica injeção e sobrejeção, logo verdadeiro.
i) “Se uma função é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, então a função é bijetora.” É a própria definição de bijeção, verdadeiro.
j) “Se uma função é bijetora, então ela é injetora.” Bijeção inclui injeção, verdadeiro.
c) “Toda função bijetora admite inversa.” Isso é verdadeiro, pois bijeção equivale a ter inversa.
d) “Quando a imagem é igual ao contradomínio temos uma função sobrejetora.” Essa é a definição de sobrejeção, logo verdadeiro.
e) “Se uma função é bijetora, então é sobrejetora.” Bijeção implica injeção e sobrejeção, logo verdadeiro.
i) “Se uma função é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, então a função é bijetora.” É a própria definição de bijeção, verdadeiro.
j) “Se uma função é bijetora, então ela é injetora.” Bijeção inclui injeção, verdadeiro.
Passo 5
Exemplos de funções específicas:
f) “Uma função afim, do tipo , com
, é bijetora.” Em
, reta não vertical é injetora (inclinação não nula) e atinge todos os valores reais, logo é bijetora (verdadeiro).
g) “Qualquer função quadrática é bijetora.” Em geral não é injetora (tem ramo simétrico) e seu conjunto imagem é apenas
ou
, não todo
. Logo falsa.
f) “Uma função afim, do tipo
g) “Qualquer função quadrática é bijetora.” Em geral
Passo 6
Teste gráfico de injeção:
h) “Se qualquer reta paralela ao eixo das abscissas intercepta o gráfico de uma função em um único ponto, então a função é injetora.” Esse é o teste da reta horizontal: não haver mais de uma interseção garante que não existam com
. Portanto é verdadeiro.
h) “Se qualquer reta paralela ao eixo das abscissas intercepta o gráfico de uma função em um único ponto, então a função é injetora.” Esse é o teste da reta horizontal: não haver mais de uma interseção garante que não existam
Resposta
a) F
b) F
c) V
d) V
e) V
f) V
g) F
h) V
i) V
j) V
b) F
c) V
d) V
e) V
f) V
g) F
h) V
i) V
j) V