Sobre funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, julgue os itens abaixo em verdadeiro ou falso:
a) Toda função injetora é sobrejetora.
b) Quando elementos diferentes geram imagens diferentes, temos uma função sobrejetora.
c) Toda função bijetora admite inversa.
d) Quando a imagem é igual ao contradomínio temos uma função sobrejetora.
e) Se uma função é bijetora, então é sobrejetora.
f) Uma função afim, do tipo f(x)=a x+b, com a \neq 0, é bijetora.
g) Qualquer função quadrática é bijetora.
h) Se qualquer reta paralela ao eixo das abscissas x intercepta o gráfico de uma função em um único ponto, então a função é injetora.
i) Se uma função é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, então a função é bijetora.
j) Se uma função é bijetora, então ela é injetora.

Passo 1

O enunciado pede para julgarmos dez afirmações sobre funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. O conteúdo principal envolve as definições de injeção, sobrejeção, bijeção e algumas propriedades clássicas (inversa, testes gráficos, exemplos de funções afim e quadrática).

Passo 2

Definições fundamentais:
– Uma função f\colon A\to B é injetora se elementos distintos de A têm imagens distintas em B.
– Uma função f\colon A\to B é sobrejetora se para todo y\in B existe x\in A com f(x)=y, ou seja, a imagem de f coincide com o contradomínio B.
– Uma função é bijetora se é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Nesse caso existe a função inversa f^{-1}\colon B\to A.

Passo 3

Analisando as afirmações que confundem injeção e sobrejeção:
a) “Toda função injetora é sobrejetora.” Pela definição, não há nenhuma garantia de que cobrirá todo o contradomínio, logo é falsa.
b) “Quando elementos diferentes geram imagens diferentes, temos uma função sobrejetora.” Isso descreve exatamente a definição de injetora, não de sobrejetora, portanto é falsa.

Passo 4

Afirmações diretas das definições de bijeção e inversa:
c) “Toda função bijetora admite inversa.” Isso é verdadeiro, pois bijeção equivale a ter inversa.
d) “Quando a imagem é igual ao contradomínio temos uma função sobrejetora.” Essa é a definição de sobrejeção, logo verdadeiro.
e) “Se uma função é bijetora, então é sobrejetora.” Bijeção implica injeção e sobrejeção, logo verdadeiro.
i) “Se uma função é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, então a função é bijetora.” É a própria definição de bijeção, verdadeiro.
j) “Se uma função é bijetora, então ela é injetora.” Bijeção inclui injeção, verdadeiro.

Passo 5

Exemplos de funções específicas:
f) “Uma função afim, do tipo f(x)=a x+b, com a\neq0, é bijetora.” Em \mathbb{R}\to\mathbb{R}, reta não vertical é injetora (inclinação não nula) e atinge todos os valores reais, logo é bijetora (verdadeiro).
g) “Qualquer função quadrática é bijetora.” Em geral f(x)=ax^2+bx+c não é injetora (tem ramo simétrico) e seu conjunto imagem é apenas [\min f,\infty) ou (-\infty,\max f], não todo \mathbb{R}. Logo falsa.

Passo 6

Teste gráfico de injeção:
h) “Se qualquer reta paralela ao eixo das abscissas intercepta o gráfico de uma função em um único ponto, então a função é injetora.” Esse é o teste da reta horizontal: não haver mais de uma interseção garante que não existam x_1\neq x_2 com f(x_1)=f(x_2). Portanto é verdadeiro.

Resposta

a) F
b) F
c) V
d) V
e) V
f) V
g) F
h) V
i) V
j) V

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