Para cada uma das seguintes funções, Verifique se f é injetora e/ou sobrejetora. Se f for bijetora, encontre a inversa.
f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\left\{\begin{aligned} x, & \text { se } x \text { é racional } \\\\ -x, & \text { se } x \text { é irracional. }\end{aligned}\right.éé

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)= \begin{cases} x, & \text{se \(x\) é racional},\\ -\,x, & \text{se \(x\) é irracional}, \end{cases}éé
e pede para verificar se f é injetora e/ou sobrejetora e, em caso de bijeção, achar f^{-1}. Vamos usar as definições de injetividade e sobrejetividade diretamente.

Passo 2

Para checar injetividade, suponha f(x_{1})=f(x_{2}). Há três situações:
  1. x_{1},x_{2} racionais: então f(x_{i})=x_{i}, logo
x_{1}=f(x_{1})=f(x_{2})=x_{2}\implies x_{1}=x_{2}.
  1. x_{1},x_{2} irracionais: então f(x_{i})=-x_{i}, logo
-\,x_{1}=f(x_{1})=f(x_{2})=-\,x_{2}\implies x_{1}=x_{2}.
  1. um é racional e o outro irracional: digamos x_{1} racional e x_{2} irracional. Então
f(x_{1})=x_{1},\quad f(x_{2})=-\,x_{2},
e a igualdade f(x_{1})=f(x_{2}) x_{1}=-\,x_{2}. Mas x_{1} racional implica -x_{2} racional, o que obrigaria x_{2} racional, contradição.
Portanto, sempre que f(x_{1})=f(x_{2}) obtemos x_{1}=x_{2}, logo f é injetora.

Passo 3

Para checar sobrejetividade, tome um valor arbitrário y\in\mathbb{R}.
  • Se y é racional, então defina x=y (que é racional). Daí
f(x)=f(y)=y.
  • Se y é irracional, então defina x=-\,y (que é irracional). Daí
f(x)=f(-y)=-\,(-y)=y.
Em ambos os casos encontramos x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y. Logo f é sobrejetora.

Passo 4

Como f é injetora e sobrejetora, concluímos que f é bijetora. Para achar a inversa, trocamos papéis de x e y: queremos x em função de y=f(x). Pelo mesmo raciocínio peça a peça:
  • Se y é racional, vem de f(x)=x, então x=y.
  • Se y é irracional, vem de f(x)=-\,x, então x=-\,y.

Resposta

f\) é injetora e sobrejetora (portanto bijetora), e sua inversa é \[f^{-1}(y)= \begin{cases} y, & \text{se \(y é racional},\ -,y, & se y é irracional. \end{cases}]

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