Para cada uma das seguintes funções, Verifique se f é injetora e/ou sobrejetora. Se f for bijetora, encontre a inversa.
f: \mathbb{R} \backslash\{1\} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{1}{1-x}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f\colon \mathbb{R}\setminus\{1\}\longrightarrow \mathbb{R},\qquad f(x)=\frac{1}{1-x}.
Queremos verificar se f é injetora e/ou sobrejetora. Se fosse bijetora, encontraríamos f^{-1}.

Passo 2

Para testar a injetividade, suponha que
f(x_1)=f(x_2).
Então
\frac{1}{1-x_1}=\frac{1}{1-x_2}
implica
1-x_1=1-x_2
(cortando o inverso, pois nem 1-x_1 nem 1-x_2 podem ser zero já que x_i\neq1). Logo
x_1=x_2.
Portanto f é injetora.

Passo 3

Para testar a sobrejetividade, tentamos resolver
y=\frac{1}{1-x}
para x. Reescrevendo,
1-x=\frac{1}{y} \quad\Longrightarrow\quad x=1-\frac{1}{y}.
Essa expressão define um x\in\mathbb{R}\setminus\{1\} para todo y\neq0. No entanto, para y=0 não existe x tal que 1/(1-x)=0. Logo 0 não está na imagem de f, ou seja, f não é sobrejetora em \mathbb{R}.

Resposta

f é injetora, não é sobrejetora; portanto não é bijetora e não admite inversa sobre todo \mathbb{R}.

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