Seja a função f: A \longrightarrow \mathbb{R} \backslash\{-4\} dada por f(x)=\frac{3+4 x}{3-x}.
a) Determine o domínio A de f.
b) Verifique se f é injetora.
c) É verdade que f é sobrejetora? Justifique.
d) Se f for bijetora, encontre a inversa de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f\colon A \to \mathbb{R}\setminus\{-4\},\quad f(x)=\frac{3+4x}{3-x},
e pede:
a) domínio A;
b) verificar injetividade;
c) verificar sobrejetividade em \mathbb{R}\setminus\{-4\};
d), se for bijetora, encontrar f^{-1}.

Passo 2

Para achar o domínio A precisamos garantir que o denominador de f(x) não seja zero.
3-x\neq0\implies x\neq3.
Logo
A=\mathbb{R}\setminus\{3\}.

Passo 3

Para checar injetividade, suponha
f(x_1)=f(x_2)\quad\Longrightarrow\quad \frac{3+4x_1}{3-x_1}=\frac{3+4x_2}{3-x_2}.
Fazendo o produto em cruz e simplificando, obtém-se
(3+4x_1)(3-x_2)=(3+4x_2)(3-x_1)\;\Longrightarrow\;15x_1=15x_2\;\Longrightarrow\;x_1=x_2.
Portanto, f é injetora.

Passo 4

Para verificar sobrejetividade em \mathbb{R}\setminus\{-4\}, pegue um valor arbitrário y\neq -4 e resolva
y=\frac{3+4x}{3-x}
em x. Multiplicando e isolando x vem
y(3-x)=3+4x \quad\Longrightarrow\quad 3y -y x =3+4x \quad\Longrightarrow\quad x(-y-4)=3(1-y)
\Longrightarrow\quad x=\frac{3(1-y)}{-y-4} =\frac{3(y-1)}{y+4}.
Como y\neq -4, esse x está bem definido e não coincide com 3 (checar essa igualdade leva a contradição), logo para todo y\in\mathbb{R}\setminus\{-4\} existe x\in A tal que f(x)=y. Assim f é sobrejetora em \mathbb{R}\setminus\{-4\}.

Passo 5

Como f é injetora e sobrejetora, é bijetora, e sua inversa f^{-1}\colon\mathbb{R}\setminus\{-4\}\to\mathbb{R}\setminus\{3\} vem da expressão de x em termos de y. Trocando y por x no resultado anterior:
f^{-1}(x)=\frac{3(x-1)}{x+4}.

Resposta

a) A=\mathbb{R}\setminus\{3\}.
b) f é injetora.
c) f é sobrejetora em \mathbb{R}\setminus\{-4\}.
d) \displaystyle f^{-1}(x)=\frac{3(x-1)}{x+4}.

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