Seja a função
dada por
.
a) Determine o domínio
de
.
b) Verifique se
é injetora.
c) É verdade que
é sobrejetora? Justifique.
d) Se
for bijetora, encontre a inversa de
.
a) Determine o domínio
b) Verifique se
c) É verdade que
d) Se
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
a) domínio ;
b) verificar injetividade;
c) verificar sobrejetividade em ;
d), se for bijetora, encontrar .
a) domínio
b) verificar injetividade;
c) verificar sobrejetividade em
d), se for bijetora, encontrar
Passo 2
Para achar o domínio
precisamos garantir que o denominador de
não seja zero.
Logo
Passo 3
Para checar injetividade, suponha
Fazendo o produto em cruz e simplificando, obtém-se
Portanto,
é injetora.
Passo 4
Para verificar sobrejetividade em
, pegue um valor arbitrário
e resolva
em
. Multiplicando e isolando
vem
Como
, esse
está bem definido e não coincide com
(checar essa igualdade leva a contradição), logo para todo
existe
tal que
. Assim
é sobrejetora em
.
Passo 5
Como
é injetora e sobrejetora, é bijetora, e sua inversa
vem da expressão de
em termos de
. Trocando
por
no resultado anterior:
Resposta
a)
b) é injetora.
c) é sobrejetora em
d)
b)
c)
d)