Para cada uma das seguintes funções, Verifique se
é injetora e/ou sobrejetora. Se
for bijetora, encontre a inversa.
.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar se
é injetora e/ou sobrejetora. Se for bijetora, devemos encontrar
. Vamos usar os conceitos de injetividade (valores iguais no contradomínio implicam valores iguais no domínio) e sobrejetividade (todo elemento do contradomínio tem um antecessor no domínio).
Passo 2
Para mostrar que
é injetora, suponha que existam
tais que
Isto é,
Multiplicando ambos os lados por
resulta em
. Logo,
é injetora.
Passo 3
Para mostrar que
é sobrejetora, tome um
. Procuramos
tal que
Como
, temos
. Logo, para cada
existe
em
com
, e
é sobrejetora.
Passo 4
Como
é injetora e sobrejetora,
é bijetora. A inversa
é obtida resolvendo
para
. Assim,
Resposta
A função
é injetora e sobrejetora (logo bijetora) e sua inversa é