Para cada uma das seguintes funções, Verifique se f é injetora e/ou sobrejetora. Se f for bijetora, encontre a inversa.
f:(0,1] \longrightarrow[1,+\infty), \quad f(x)=\frac{1}{x}.

Passo 1

O enunciado define a função
f:(0,1]\longrightarrow[1,\infty),\quad f(x)=\frac{1}{x}
e pede para verificar se f é injetora e/ou sobrejetora. Se for bijetora, devemos encontrar f^{-1}. Vamos usar os conceitos de injetividade (valores iguais no contradomínio implicam valores iguais no domínio) e sobrejetividade (todo elemento do contradomínio tem um antecessor no domínio).

Passo 2

Para mostrar que f é injetora, suponha que existam x_1,x_2\in(0,1] tais que
f(x_1)=f(x_2).
Isto é,
\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}.
Multiplicando ambos os lados por x_1x_2>0 resulta em x_2=x_1. Logo, f é injetora.

Passo 3

Para mostrar que f é sobrejetora, tome um y\in[1,\infty). Procuramos x\in(0,1] tal que
f(x)=y \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{x}=y \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{1}{y}.
Como y\ge1, temos \tfrac1y\in(0,1]. Logo, para cada y existe x=\tfrac1y em (0,1] com f(x)=y, e f é sobrejetora.

Passo 4

Como f é injetora e sobrejetora, f é bijetora. A inversa f^{-1}:[1,\infty)\to(0,1] é obtida resolvendo y=f(x)=1/x para x. Assim,
f^{-1}:[1,\infty)\longrightarrow(0,1],\quad f^{-1}(y)=\frac{1}{y}.

Resposta

A função f é injetora e sobrejetora (logo bijetora) e sua inversa é
f^{-1}(y)=\frac{1}{y}\,,\quad y\in[1,\infty).

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