Para cada uma das seguintes funções, Verifique se f é injetora e/ou sobrejetora. Se f for bijetora, encontre a inversa.
f: \mathbb{R} \longrightarrow[-1,+\infty), \quad f(x)=x^{2}-1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f\colon \mathbb{R}\to[-1,+\infty),\quad f(x)=x^2-1
e pede para verificar se f é injetora e/ou sobrejetora. Se for bijetora, devemos encontrar sua inversa. Usaremos a definição de injetividade (se f(x_1)=f(x_2) então x_1=x_2) e de sobrejetividade (para todo y no contradomínio existe x no domínio tal que f(x)=y).

Passo 2

Teste de injetividade: suponha
f(x_1)=f(x_2)\,\Longrightarrow\,x_1^2-1 = x_2^2-1
que implica
x_1^2 = x_2^2 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = \pm x_2.
Como podemos ter x_1\neq x_2 (por exemplo x_1=-x_2) e ainda assim f(x_1)=f(x_2), concluímos que f não é injetora.

Passo 3

Teste de sobrejetividade: seja y\in[-1,+\infty). Queremos achar x\in\mathbb{R} tal que
x^2 - 1 = y \quad\Longrightarrow\quad x^2 = y + 1.
Como y+1\ge0, existe pelo menos uma solução real
x = \sqrt{y+1} \quad\text{ou}\quad x = -\sqrt{y+1}.
Logo, para todo y do contradomínio há x em \mathbb{R} com f(x)=y, ou seja, f é sobrejetora.

Passo 4

Como f não é injetora, não pode ser bijetora. Portanto não existe função inversa definida em todo o contradomínio.

Resposta

f não é injetora.
f é sobrejetora.
f não é bijetora.
Não existe inversa global.

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