Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função f(x) dada em torno do ponto x_0. Determine tambem o ráio de convergência da série.
h. f(x) = 1/(1 - x), x0 = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a série de Taylor da função em torno do ponto . Além disso, temos que determinar o raio de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries de Taylor e séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de é dada por:
Mas, nesse caso, é mais fácil manipular a função para encaixar na forma de uma série geométrica, que sabemos que é:
Vamos reescrever de forma que se pareça com .

Passo 3

Temos:
Queremos expandir em torno de , então fazemos uma mudança de variável:
Substituindo na função:
Agora, colocamos na forma da série geométrica:
Substituindo :

Passo 4

Agora, precisamos determinar o raio de convergência da série. Sabemos que a série geométrica converge quando:
Portanto, o raio de convergência é 1.

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:
E o raio de convergência dessa série é .

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