Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
h.
h.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a série de Taylor da função
em torno do ponto
. Além disso, temos que determinar o raio de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries de Taylor e séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função
em torno de
é dada por:
Mas, nesse caso, é mais fácil manipular a função para encaixar na forma de uma série geométrica, que sabemos que é:
Vamos reescrever
de forma que se pareça com
.
Passo 3
Temos:
Queremos expandir em torno de
, então fazemos uma mudança de variável:
Substituindo na função:
Agora, colocamos na forma da série geométrica:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, precisamos determinar o raio de convergência da série. Sabemos que a série geométrica converge quando:
Portanto, o raio de convergência é 1.
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é:
E o raio de convergência dessa série é
.