Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função f(x) dada em torno do ponto x_0. Determine tambem o ráio de convergência da série.
k. f(x) = 7 cos(-x), x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a série de Taylor da função em torno de . Além disso, precisamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona a série de Taylor para funções trigonométricas, especificamente para o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função. Sabemos que o cosseno é uma função par, ou seja, . Assim, nossa função fica:
Isso facilita porque agora podemos usar a série de Taylor padrão para .

Passo 3

A série de Taylor para em torno de 0 é:
Essa série é composta por termos que alternam de sinal e envolvem apenas potências pares de .

Passo 4

Como nossa função é , basta multiplicar a série de Taylor de por 7:
Essa é a série de Taylor da função dada.

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de Taylor para converge para todo real, ou seja, o raio de convergência é infinito. Como multiplicar por 7 não altera o intervalo de convergência, o raio de convergência da nossa série também é infinito.

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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