Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
n.
n.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a série de Taylor da função
em torno de
. Além disso, temos que determinar o raio de convergência dessa série. Vamos precisar entender como construir uma série de Taylor e aplicar isso à função hiperbólica seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. A série de Taylor de uma função
em torno de um ponto
é uma soma infinita que aproxima a função perto desse ponto. A fórmula geral é:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Como estamos expandindo em torno de
, a série fica:
Agora, precisamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
-
-
-
-
- E assim por diante, alternando entre
e .
Agora, avaliamos cada derivada em
:
-
-
-
-
- E assim sucessivamente.
Perceba que as derivadas de ordem ímpar são 1 e as de ordem par são 0.
Passo 5
Com essas derivadas, podemos montar a série de Taylor:
Isso acontece porque apenas as derivadas de ordem ímpar contribuem para a série, já que as de ordem par são zero.
Passo 6
Agora, vamos determinar o raio de convergência da série. Sabemos que a série de potências para
tem raio de convergência infinito, e como
é uma combinação linear de
e
, o raio de convergência também é infinito.
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é:
O raio de convergência da série é infinito.