Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função f(x) dada em torno do ponto x_0. Determine tambem o ráio de convergência da série.
n. f(x) = sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2, x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a série de Taylor da função em torno de . Além disso, temos que determinar o raio de convergência dessa série. Vamos precisar entender como construir uma série de Taylor e aplicar isso à função hiperbólica seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. A série de Taylor de uma função em torno de um ponto é uma soma infinita que aproxima a função perto desse ponto. A fórmula geral é:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Como estamos expandindo em torno de , a série fica:
Agora, precisamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
  1. E assim por diante, alternando entre e .
Agora, avaliamos cada derivada em :
  1. E assim sucessivamente.
Perceba que as derivadas de ordem ímpar são 1 e as de ordem par são 0.

Passo 5

Com essas derivadas, podemos montar a série de Taylor:
Isso acontece porque apenas as derivadas de ordem ímpar contribuem para a série, já que as de ordem par são zero.

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência da série. Sabemos que a série de potências para tem raio de convergência infinito, e como é uma combinação linear de e , o raio de convergência também é infinito.

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:
O raio de convergência da série é infinito.

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