Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função f(x) dada em torno do ponto x_0. Determine tambem o ráio de convergência da série.
l. f(x) = x^2 cos(x^2), x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função em torno de . Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar conhecer a série de Taylor da função cosseno e entender como manipular séries.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de Taylor do cosseno em torno de 0. A série de Taylor para é:

Passo 3

Agora, na nossa função , o que temos dentro do cosseno é . Então, vamos substituir por na série que acabamos de escrever:

Passo 4

Agora, nossa função é multiplicado por . Vamos multiplicar a série que encontramos por :

Passo 5

Então, a série de Taylor da função em torno de 0 é:

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de tem raio de convergência infinito, ou seja, converge para todo . Como fizemos substituições e multiplicações que não limitam a convergência, o raio de convergência da nossa série de também é infinito.

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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