Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de x.
d. (1-x) y'' + x y' - y = 0, y(0) = -3, y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando séries de potências. O enunciado nos dá a equação:
E as condições iniciais são e . Vamos precisar conhecer séries de potências, derivadas e como aplicar condições iniciais para encontrar os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução y(x) pode ser escrita como uma série de potências centrada em x = 0:
Isso significa que y(x) é a soma de termos , onde são os coeficientes que vamos determinar.

Passo 3

Precisamos encontrar as derivadas de y(x):
Essas derivadas serão usadas na equação diferencial original.

Passo 4

Agora, substituímos y, e na equação diferencial:
Vamos distribuir o e simplificar cada termo.

Passo 5

Distribuindo :
Agora, precisamos alinhar os índices para poder combinar os termos.

Passo 6

Ajustando os índices:
  • No primeiro termo, façamos :
  • No segundo termo, façamos :
  • No terceiro termo, deixamos:
  • No quarto termo, deixamos:

Passo 7

Reescrevendo tudo com o índice k:
Agora, podemos combinar os termos semelhantes.

Passo 8

Para combinar, observamos que o termo para só aparece no primeiro e no último somatório:
Para :
Para k ≥ 1:
Simplificando:

Passo 9

Agora, resolvemos para :
Simplificando mais:

Passo 10

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar e :

Passo 11

Com e , podemos calcular usando a equação do passo 8 para k = 0:

Passo 12

Continuamos calculando os próximos coeficientes:
Para k=1:
Para k = 2:
E assim por diante, se quisermos mais termos.

Resposta

A solução da equação diferencial em séries de potências é:

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