Para cada uma das seguintes matrizes, calcule o posto, a nulidade e a inversa se existir. \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz quadrada A e pede três coisas: o posto de A, a nulidade (dimensão do núcleo) de A e a inversa de A, se existir. A matriz fornecida é
o posto: número de vetores linearmente independentes nas linhas (ou colunas) de A;
a nulidade: dimensão do espaço solução de A\mathbf{x}=\mathbf{0};
a inversa A^{-1}, caso A seja invertível.]
Passo 2
Rápida revisão prática (tipo manual de bolso):
Uma matriz quadrada A é invertível se, e só se, \det(A)\neq 0. Se \det(A)=0, então A é singular e a inversa não existe.
O posto de A (denotado \operatorname{rank}(A) ou apenas “posto”) é o número de pivôs na redução por linhas (forma escalonada). Para uma matriz 3\times3, o posto pode ser 0,1,2 ou 3.
A nulidade (dimensão do núcleo) satisfaz o Teorema do Posto-Nulidade: