Para cada uma das seguintes matrizes, calcule o posto, a nulidade e a inversa se existir.
\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & -1 & 2 \\\\ 2 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 & -3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}
  • Calcular o posto (rank) de A.
  • Calcular a nulidade (dimensão do núcleo) de A.
  • Determinar a inversa de A, se existir.
As entradas da matriz A foram copiadas diretamente do enunciado acima.]

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): vai-se aplicar eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas) para obter uma forma escalonada da matriz. A posição dos pivôs na forma escalonada dá o posto. Depois usa-se o teorema posto-nulidade
\dim(\ker A)+\operatorname{rank}(A)=n,
onde n é o número de colunas (aqui n=4), para obter a nulidade. Se o posto for 4 então A é invertível; se for menor que 4 então A não tem inversa.
Vou fazer a eliminação passo a passo, explicando cada operação.

Passo 3

Começo listando as linhas iniciais:
R_1=(1\;0\;1\;1),\qquad R_2=(1\;1\;-1\;2),\qquad R_3=(2\;0\;1\;0),\qquad R_4=(0\;-1\;1\;-3).
Operações elementares usadas: trocar linhas, multiplicar linha por escalar não-nulo e somar múltiplo de uma linha a outra. Essas operações não mudam o espaço das linhas nem o posto.
Faço R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3-2R_1. Isso elimina o primeiro elemento nas linhas 2 e 3:
\begin{aligned} R_2&=(1,1,-1,2)-(1,0,1,1)=(0,1,-2,1),\\[4pt] R_3&=(2,0,1,0)-2(1,0,1,1)=(0,0,-1,-2). \end{aligned}
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -2\\[4pt] 0 & -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora uso R_2 para simplificar R_4: faço R_4\leftarrow R_4+R_2. Isso elimina o -1 na posição (4,2):
R_4=(0,-1,1,-3)+(0,1,-2,1)=(0,0,-1,-2).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Observação: as linhas R_3 e R_4 são agora idênticas, logo uma delas é redundante. Para simplificar, multiplico R_3 por -1 (operação permitida) para obter um pivô positivo:
R_3\leftarrow -R_3 \Longrightarrow R_3=(0,0,1,2).
Em seguida uso R_3 para zerar as entradas acima na coluna 3:
  • R_1\leftarrow R_1-R_3 R_1=(1,0,0,-1).
  • R_2\leftarrow R_2+2R_3 R_2=(0,1,0,5).
  • R_4\leftarrow R_4-R_3 R_4=(0,0,0,0).
A matriz fica na forma escalonada
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação da forma escalonada:
  • Há pivôs nas colunas 1, 2 e 3. Isso significa que existem 3 colunas linearmente independentes.
  • Logo \operatorname{rank}(A)=3.
Explanação do que é posto (lembrete): o posto de uma matriz é a dimensão do espaço coluna (ou espaço linha), isto é, o número máximo de colunas linearmente independentes. Na forma escalonada, ele é o número de linhas não-nulas (ou número de pivôs).

Passo 7

Agora a nulidade. A nulidade é \dim(\ker A). Pelo teorema posto-nulidade,
\dim(\ker A)+\operatorname{rank}(A)=n,
com n=4. Assim
\dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A)=4-3=1.
Portanto a nulidade é 1: o espaço nulo tem dimensão 1, ou seja há um parâmetro livre na solução homogênea A x=0.

Passo 8

Para dar um vetor não-nulo do núcleo (útil para entender a nulidade), resolvo as equações impostas pela forma escalonada. Chamando x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\top, a forma escalonada corresponde ao sistema
\begin{aligned} x_1 - x_4 &= 0,\\[4pt] x_2 + 5x_4 &= 0,\\[4pt] x_3 + 2x_4 &= 0. \end{aligned}
A variável livre é x_4=t. Então
x_1=t,\qquad x_2=-5t,\qquad x_3=-2t,\qquad x_4=t.
Tomando t=1 obtemos um vetor do núcleo
x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-5\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix},
confirmando que o núcleo é gerado por esse único vetor e, portanto, tem dimensão 1.]

Passo 9

Sobre a inversa: uma matriz quadrada n\times n é invertível se, e somente se, \operatorname{rank}(A)=n. Aqui temos \operatorname{rank}(A)=3<4, portanto A não é invertível e a inversa não existe. Outra forma de dizer: A é singular (determinante zero).

Resposta

Posto: 3
Nulidade: 1
Inversa: não existe (a matriz não é invertível)

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