As entradas da matriz A foram copiadas diretamente do enunciado acima.]
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): vai-se aplicar eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas) para obter uma forma escalonada da matriz. A posição dos pivôs na forma escalonada dá o posto. Depois usa-se o teorema posto-nulidade
\dim(\ker A)+\operatorname{rank}(A)=n,
onde n é o número de colunas (aqui n=4), para obter a nulidade. Se o posto for 4 então A é invertível; se for menor que 4 então A não tem inversa.
Vou fazer a eliminação passo a passo, explicando cada operação.
Operações elementares usadas: trocar linhas, multiplicar linha por escalar não-nulo e somar múltiplo de uma linha a outra. Essas operações não mudam o espaço das linhas nem o posto.
Faço R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3-2R_1. Isso elimina o primeiro elemento nas linhas 2 e 3:
Observação: as linhas R_3 e R_4 são agora idênticas, logo uma delas é redundante. Para simplificar, multiplico R_3 por -1 (operação permitida) para obter um pivô positivo:
R_3\leftarrow -R_3 \Longrightarrow R_3=(0,0,1,2).
Em seguida uso R_3 para zerar as entradas acima na coluna 3:
Há pivôs nas colunas 1, 2 e 3. Isso significa que existem 3 colunas linearmente independentes.
Logo \operatorname{rank}(A)=3.
Explanação do que é posto (lembrete): o posto de uma matriz é a dimensão do espaço coluna (ou espaço linha), isto é, o número máximo de colunas linearmente independentes. Na forma escalonada, ele é o número de linhas não-nulas (ou número de pivôs).
Passo 7
Agora a nulidade. A nulidade é \dim(\ker A). Pelo teorema posto-nulidade,
\dim(\ker A)+\operatorname{rank}(A)=n,
com n=4. Assim
\dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A)=4-3=1.
Portanto a nulidade é 1: o espaço nulo tem dimensão 1, ou seja há um parâmetro livre na solução homogênea A x=0.
Passo 8
Para dar um vetor não-nulo do núcleo (útil para entender a nulidade), resolvo as equações impostas pela forma escalonada. Chamando x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\top, a forma escalonada corresponde ao sistema
confirmando que o núcleo é gerado por esse único vetor e, portanto, tem dimensão 1.]
Passo 9
Sobre a inversa: uma matriz quadrada n\times n é invertível se, e somente se, \operatorname{rank}(A)=n. Aqui temos \operatorname{rank}(A)=3<4, portanto A não é invertível e a inversa não existe. Outra forma de dizer: A é singular (determinante zero).