Calcular o posto de A (número de colunas linearmente independentes).
Calcular a nulidade de A (dimensão do espaço nulo de A).
Determinar a inversa A^{-1}, se existir.
Informações dadas explicitamente: a matriz A acima (todos os seus elementos estão listados). Não há informações adicionais.]
Passo 2
Breve revisão do que vamos usar (estou te explicando como se estivéssemos estudando juntos):
O posto (rank) de uma matriz é o número de pivôs não-nulos que aparecem quando fazemos eliminação de Gauss (ou Gauss–Jordan). É a dimensão da imagem (colunas geradoras).
A nulidade (nullity) satisfaz a relação (teorema do posto-nulidade) para matrizes m\times n:
\text{rank}(A)+\text{nullity}(A)=n,
onde n é o número de colunas. Aqui n=4.
A matriz A é inversível se, e somente se, \text{rank}(A)=4 (posto máximo). Para encontrar A^{-1} podemos executar eliminação de Gauss–Jordan na matriz aumentada [A\mid I] (aplicar as mesmas operações às colunas da identidade) até obter [I\mid A^{-1}].
Agora vamos aplicar eliminação por linhas passo a passo, explicando cada operação e transformando também a parte aumentada para obter a inversa.
Primeiro, usamos o pivô na posição (1,1) que é 1. Objetivo: zerar as entradas abaixo na coluna 1 aplicando operações do tipo R_i \leftarrow R_i - kR_1.
Observação didática: aqui escolhemos deixar o pivô (2,2) como 1 (já era 1), e fizemos combinações lineares para zerar as outras entradas na coluna 2. Esse é o esquema padrão da eliminação (transformar a matriz à esquerda em uma forma escalonada).]
Passo 5
Agora a coluna 3 tem entradas não nulas nas linhas 1,2,3,4 (mas usamos as linhas 3 e 4 para escolher pivô). Observando, a entrada (3,3)=-1 pode ser nosso próximo pivô (é não-nula). Vamos usar R_3 para zerar a entrada em R_4 e para eliminar as entradas nas linhas 1 e 2.
Explicação: a escolha das operações visa deixar zeros em todas as posições da coluna 3 exceto no pivô, reduzindo a matriz em direção à forma diagonal ou identidade.]
Passo 6
Tornamos o pivô da linha 3 igual a 1 multiplicando R_3 por -1:
Agora temos pivôs claros nas colunas 1, 2, 3 e 4 (a linha 4 já tem pivô 1 em (4,4)). Isso indica que as quatro colunas são independentes; já dá indício de que o posto é 4.]
Passo 7
Último passo de Gauss–Jordan: zerar todas as entradas nas colunas dos pivôs acima e abaixo para transformar a parte esquerda em I_4. Em particular, usamos o pivô da linha 4 para eliminar as entradas -12 em R_1, 7 em R_2 e -2 em R_3.