Para cada uma das seguintes matrizes, calcule o posto, a nulidade e a inversa se existir.
\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 2 & 5 & 5 & 1 \\\\ -2 & -3 & 0 & 3 \\\\ 3 & 4 & -2 & -3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a matriz A de ordem 4\times4:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 5 & 5 & 1\\[4pt] -2 & -3 & 0 & 3\\[4pt] 3 & 4 & -2 & -3 \end{pmatrix}
  • Calcular o posto de A (número de colunas linearmente independentes).
  • Calcular a nulidade de A (dimensão do espaço nulo de A).
  • Determinar a inversa A^{-1}, se existir.
Informações dadas explicitamente: a matriz A acima (todos os seus elementos estão listados). Não há informações adicionais.]

Passo 2

Breve revisão do que vamos usar (estou te explicando como se estivéssemos estudando juntos):
  • O posto (rank) de uma matriz é o número de pivôs não-nulos que aparecem quando fazemos eliminação de Gauss (ou Gauss–Jordan). É a dimensão da imagem (colunas geradoras).
  • A nulidade (nullity) satisfaz a relação (teorema do posto-nulidade) para matrizes m\times n:
\text{rank}(A)+\text{nullity}(A)=n,
onde n é o número de colunas. Aqui n=4.
  • A matriz A é inversível se, e somente se, \text{rank}(A)=4 (posto máximo). Para encontrar A^{-1} podemos executar eliminação de Gauss–Jordan na matriz aumentada [A\mid I] (aplicar as mesmas operações às colunas da identidade) até obter [I\mid A^{-1}].
Agora vamos aplicar eliminação por linhas passo a passo, explicando cada operação e transformando também a parte aumentada para obter a inversa.

Passo 3

Começamos com a matriz aumentada [A\mid I]:
\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 5 & 5 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & -3 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 4 & -2 & -3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Primeiro, usamos o pivô na posição (1,1) que é 1. Objetivo: zerar as entradas abaixo na coluna 1 aplicando operações do tipo R_i \leftarrow R_i - kR_1.
Operações:
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2 - 2R_1,\\\ R_3 &\leftarrow R_3 + 2R_1,\\\ R_4 &\leftarrow R_4 - 3R_1. \end{aligned}
Aplicando:
\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -5 & -3 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Expliquei: cada operação foi feita também na parte direita (identidade) para manter a correspondência que permitirá obter a inversa.]

Passo 4

Agora o pivô escolhido é a entrada (2,2)=1. Vamos zerar as outras entradas na coluna 2 (acima e abaixo do pivô) utilizando:
\begin{aligned} R_3 &\leftarrow R_3 - R_2,\\\ R_4 &\leftarrow R_4 + 2R_2,\\\ R_1 &\leftarrow R_1 - 2R_2. \end{aligned}
Aplicando isso obtemos:
\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & -5 & -2 & 5 & -2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2 & 4 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & -7 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right].
Observação didática: aqui escolhemos deixar o pivô (2,2) como 1 (já era 1), e fizemos combinações lineares para zerar as outras entradas na coluna 2. Esse é o esquema padrão da eliminação (transformar a matriz à esquerda em uma forma escalonada).]

Passo 5

Agora a coluna 3 tem entradas não nulas nas linhas 1,2,3,4 (mas usamos as linhas 3 e 4 para escolher pivô). Observando, a entrada (3,3)=-1 pode ser nosso próximo pivô (é não-nula). Vamos usar R_3 para zerar a entrada em R_4 e para eliminar as entradas nas linhas 1 e 2.
Operações escolhidas:
\begin{aligned} R_4 &\leftarrow R_4 + R_3,\\\ R_1 &\leftarrow R_1 - 5R_3,\\\ R_2 &\leftarrow R_2 + 3R_3. \end{aligned}
Aplicando:
\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & -12 & -15 & 3 & -5 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 7 & 10 & -2 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2 & 4 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right].
Explicação: a escolha das operações visa deixar zeros em todas as posições da coluna 3 exceto no pivô, reduzindo a matriz em direção à forma diagonal ou identidade.]

Passo 6

Tornamos o pivô da linha 3 igual a 1 multiplicando R_3 por -1:
R_3 \leftarrow -R_3,
ficando
\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & -12 & -15 & 3 & -5 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 7 & 10 & -2 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 & -4 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right].
Agora temos pivôs claros nas colunas 1, 2, 3 e 4 (a linha 4 já tem pivô 1 em (4,4)). Isso indica que as quatro colunas são independentes; já dá indício de que o posto é 4.]

Passo 7

Último passo de Gauss–Jordan: zerar todas as entradas nas colunas dos pivôs acima e abaixo para transformar a parte esquerda em I_4. Em particular, usamos o pivô da linha 4 para eliminar as entradas -12 em R_1, 7 em R_2 e -2 em R_3.
Operações:
\begin{aligned} R_1 &\leftarrow R_1 + 12R_4,\\\ R_2 &\leftarrow R_2 - 7R_4,\\\ R_3 &\leftarrow R_3 + 2R_4. \end{aligned}
Aplicando essas operações obtemos:
\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & -51 & 15 & 7 & 12\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 31 & -9 & -4 & -7\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -10 & 3 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right].
Agora a parte esquerda é a matriz identidade I_4. Na parte direita temos exatamente A^{-1}.]

Passo 8

Interpretações finais e cálculo do posto/nulidade:
  • Observamos pivôs nas quatro colunas (coluna 1, 2, 3 e 4), então \text{rank}(A)=4.
  • Pelo teorema do posto-nulidade para uma matriz 4\times4:
\text{nullity}(A)=4-\text{rank}(A)=4-4=0.
Portanto o núcleo contém apenas o vetor nulo; não há vetores não-triviais que A mande em zero.
  • Como o posto é 4 (máximo), A é inversível e a inversa foi obtida na eliminação.

Resposta

\text{posto}(A)=4
\text{nulidade}(A)=0
A^{-1}=\begin{pmatrix} -51 & 15 & 7 & 12\\[4pt] 31 & -9 & -4 & -7\\[4pt] -10 & 3 & 1 & 2\\[4pt] -3 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}]

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