Sejam
e
matrizes
, e sejam
e
matrizes
definidas respectivamente por
Prove que se
pode ser transformada em
por meio de operações elementares sobre as linhas, então
pode ser transformada em
por meio de operações elementares sobre as linhas.
Passo 1
O enunciado dá as matrizes
e
de ordem
e as matrizes
e
de ordem
definidas pelas blocos
onde a primeira linha/coluna de
e
é a mesma (um
no canto superior esquerdo e zeros na primeira linha e primeira coluna) e o bloco inferior direito é respectivamente
e
.
O que se pede: provar que, se existe uma sequência de operações elementares sobre as linhas que transforma
em
, então existe uma sequência de operações elementares sobre as linhas que transforma
em
.]
Passo 2
Lembrando (de forma prática e sem formalismo exagerado) o que são operações elementares sobre linhas: existem três tipos, que posso aplicar a qualquer matriz
- trocar duas linhas;
- multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
- somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Cada uma dessas operações é chamada de operação elementar de linha e, na prática, corresponde a modificar linhas isoladas da matriz seguindo uma regra simples. Vou usar a ideia: “faça exatamente a mesma operação que foi feita em
, mas aplicada às linhas correspondentes em
”.
Passo 3
Formalizando a hipótese: existe uma sequência finita de operações elementares que transforma
em
. Isso pode ser escrito usando matrizes elementares (mas a ideia é a mesma em linguagem de operações): existem matrizes elementares
de ordem
tais que
Cada
representa uma operação elementar de linha sobre matrizes
.
Passo 4
Agora constrói-se, para cada
, uma matriz elementar estendida
de ordem
que age somente nas últimas
linhas (ou seja, preserva a primeira linha). Defina
onde o bloco
é escalar
(posição
) e o bloco
são vetores/matrizes de zeros de dimensões compatíveis. Cada
é obtida de uma operação elementar de linha sobre
-linhas que deixa a primeira linha intacta e aplica a operação correspondente nas linhas
.]
Passo 5
Multiplicando as matrizes estendidas pela matriz
vemos o efeito bloco a bloco. Para um único
,
Aplicando a sequência inteira
obtemos
Assim a multiplicação à esquerda por essa sequência de matrizes elementares estendidas transforma
em
.]
Passo 6
Interpretando de modo mais direto (sem falar em matrizes elementares): se a sequência de operações que transforma
em
foi, por exemplo,
- trocar as linhas
e de , - multiplicar a linha
por , - somar à linha
vezes a linha ,
então execute exatamente essas mesmas operações emaplicando-as às linhas e de (isto é, deslocando todos os índices de linha em porque em há uma primeira linha extra). A primeira linha de (que é ) nunca é afetada por essas operações, e o bloco é transformado passo a passo em . No fim obtem-se exatamente .
Passo 7
Resumo final e moral: toda operação elementar usada para transformar
em
tem uma cópia natural que age sobre
deixando a primeira linha fixa e atuando nas linhas correspondentes
. Aplicando a sequência correspondente obtém-se
. Portanto, se
pode ser transformada em
por operações elementares sobre as linhas, então
pode ser transformada em
por operações elementares sobre as linhas.
Resposta
B pode ser transformada em D aplicando-se a
a mesma sequência de operações elementares feitas em
, atuando nas linhas
(ou, equivalentemente, multiplicando
à esquerda por matrizes elementares estendidas), de modo que
transforma-se em
.