Sejam B_{1} e D_{1} matrizes m \times n, e sejam B e D matrizes (m+1) \times(n+1) definidas respectivamente por
B=\left[\begin{array}{c|lll} 1 & 0 & \cdots & 0 \\\ \hline 0 & & & \\\ \vdots & & B_{1} & \\\\ 0 & & & \end{array}\right] \quad \text { e } \quad D=\left[\begin{array}{c|lll} 1 & 0 & \cdots & 0 \\\ \hline 0 & & & \\\ \vdots & & D_{1} & \\\\ 0 & & & \end{array}\right] .
Prove que se B_{1} pode ser transformada em D_{1} por meio de operações elementares sobre as linhas, então B pode ser transformada em D por meio de operações elementares sobre as linhas.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes B_{1} e D_{1} de ordem m\times n e as matrizes B e D de ordem (m+1)\times(n+1) definidas pelas blocos
B=\begin{bmatrix}1 & 0\\[4pt]\hline 0 & B_{1}\end{bmatrix}, \qquad D=\begin{bmatrix}1 & 0\\[4pt]\hline 0 & D_{1}\end{bmatrix},
onde a primeira linha/coluna de B e D é a mesma (um 1 no canto superior esquerdo e zeros na primeira linha e primeira coluna) e o bloco inferior direito é respectivamente B_{1} e D_{1}.
O que se pede: provar que, se existe uma sequência de operações elementares sobre as linhas que transforma B_{1} em D_{1}, então existe uma sequência de operações elementares sobre as linhas que transforma B em D.]

Passo 2

Lembrando (de forma prática e sem formalismo exagerado) o que são operações elementares sobre linhas: existem três tipos, que posso aplicar a qualquer matriz
  1. trocar duas linhas;
  2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  3. somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Cada uma dessas operações é chamada de operação elementar de linha e, na prática, corresponde a modificar linhas isoladas da matriz seguindo uma regra simples. Vou usar a ideia: “faça exatamente a mesma operação que foi feita em B_{1}, mas aplicada às linhas correspondentes em B”.

Passo 3

Formalizando a hipótese: existe uma sequência finita de operações elementares que transforma B_{1} em D_{1}. Isso pode ser escrito usando matrizes elementares (mas a ideia é a mesma em linguagem de operações): existem matrizes elementares E_{1},E_{2},\dots,E_{r} de ordem m tais que
D_{1}=E_{r}E_{r-1}\cdots E_{1}\,B_{1}.
Cada E_{k} representa uma operação elementar de linha sobre matrizes m\times n.

Passo 4

Agora constrói-se, para cada E_{k}, uma matriz elementar estendida \widetilde E_{k} de ordem m+1 que age somente nas últimas m linhas (ou seja, preserva a primeira linha). Defina
\widetilde E_{k}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]\hline 0 & E_{k}\end{pmatrix},
onde o bloco 1 é escalar 1 (posição (1,1)) e o bloco 0 são vetores/matrizes de zeros de dimensões compatíveis. Cada \widetilde E_{k} é obtida de uma operação elementar de linha sobre (m+1)-linhas que deixa a primeira linha intacta e aplica a operação correspondente nas linhas 2,\dots,m+1.]

Passo 5

Multiplicando as matrizes estendidas pela matriz B vemos o efeito bloco a bloco. Para um único k,
\widetilde E_{k}\,B = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]\hline 0 & E_{k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]\hline 0 & B_{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]\hline 0 & E_{k}B_{1}\end{pmatrix}.
Aplicando a sequência inteira \widetilde E_{r}\cdots\widetilde E_{1} obtemos
\widetilde E_{r}\cdots\widetilde E_{1}\,B = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]\hline 0 & E_{r}\cdots E_{1}B_{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]\hline 0 & D_{1}\end{pmatrix} = D.
Assim a multiplicação à esquerda por essa sequência de matrizes elementares estendidas transforma B em D.]

Passo 6

Interpretando de modo mais direto (sem falar em matrizes elementares): se a sequência de operações que transforma B_{1} em D_{1} foi, por exemplo,
  • trocar as linhas i e j de B_{1},
  • multiplicar a linha i por \lambda\neq0,
  • somar à linha i \mu vezes a linha j,
    então execute exatamente essas mesmas operações em B aplicando-as às linhas i+1 e j+1 de B (isto é, deslocando todos os índices de linha em +1 porque em B há uma primeira linha extra). A primeira linha de B (que é [1\;0\;\cdots\;0]) nunca é afetada por essas operações, e o bloco B_{1} é transformado passo a passo em D_{1}. No fim obtem-se exatamente D.

Passo 7

Resumo final e moral: toda operação elementar usada para transformar B_{1} em D_{1} tem uma cópia natural que age sobre B deixando a primeira linha fixa e atuando nas linhas correspondentes 2,\dots,m+1. Aplicando a sequência correspondente obtém-se D. Portanto, se B_{1} pode ser transformada em D_{1} por operações elementares sobre as linhas, então B pode ser transformada em D por operações elementares sobre as linhas.

Resposta

B pode ser transformada em D aplicando-se a B a mesma sequência de operações elementares feitas em B_{1}, atuando nas linhas 2,\dots,m+1 (ou, equivalentemente, multiplicando B à esquerda por matrizes elementares estendidas), de modo que B transforma-se em D.

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