Para cada um dos seguintes pares de bases ordenadas \mathcal{B} e \mathcal{C} do \mathbb{R}^{2}, encontre a matriz de mudança de base que transforma as coordenadas em \mathcal{C} para as coordenadas em \mathcal{B}. \mathcal{B}=\{(-4,3),(2,-1)\}e \mathcal{C}=\{(2,1),(-4,1)\}.
Passo 1
O enunciado nos dá duas bases ordenadas \mathcal{B}=\{(-4,3),(2,-1)\} e \mathcal{C}=\{(2,1),(-4,1)\} do \mathbb{R}^{2} e pede a matriz de mudança de base que leva coordenadas em \mathcal{C} em coordenadas em \mathcal{B}. O conteúdo é mudança de base em \mathbb{R}^{2} e vamos precisar expressar cada vetor de \mathcal{C} em coordenadas de \mathcal{B}.
Passo 2
A matriz de mudança de base P de \mathcal{C} para \mathcal{B} tem como colunas os vetores [\,(2,1)\,]_{\mathcal{B}} e [\,( -4,1)\,]_{\mathcal{B}}, ou seja, as coordenadas de cada vetor de \mathcal{C} na base \mathcal{B}.
Passo 3
Para encontrar [\,(2,1)\,]_{\mathcal{B}}=(a,b) resolvemos
-4a + 2b = 2,\quad 3a - b = 1.
Da segunda equação b=3a-1. Substituindo na primeira: