Para cada um dos seguintes pares de bases ordenadas \mathcal{B} e \mathcal{C} do \mathbb{R}^{2}, encontre a matriz de mudança de base que transforma as coordenadas em \mathcal{C} para as coordenadas em \mathcal{B}.
\mathcal{B}=\{(-4,3),(2,-1)\}e \mathcal{C}=\{(2,1),(-4,1)\}.

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases ordenadas \mathcal{B}=\{(-4,3),(2,-1)\} e \mathcal{C}=\{(2,1),(-4,1)\} do \mathbb{R}^{2} e pede a matriz de mudança de base que leva coordenadas em \mathcal{C} em coordenadas em \mathcal{B}. O conteúdo é mudança de base em \mathbb{R}^{2} e vamos precisar expressar cada vetor de \mathcal{C} em coordenadas de \mathcal{B}.

Passo 2

A matriz de mudança de base P de \mathcal{C} para \mathcal{B} tem como colunas os vetores [\,(2,1)\,]_{\mathcal{B}} e [\,( -4,1)\,]_{\mathcal{B}}, ou seja, as coordenadas de cada vetor de \mathcal{C} na base \mathcal{B}.

Passo 3

Para encontrar [\,(2,1)\,]_{\mathcal{B}}=(a,b) resolvemos
-4a + 2b = 2,\quad 3a - b = 1.
Da segunda equação b=3a-1. Substituindo na primeira:
-4a + 2(3a-1)=2\\ \Longrightarrow\\\ 2a=4\\ \Longrightarrow\\ a=2,\quad b=3\cdot2-1=5.
Logo [\,(2,1)\,]_{\mathcal{B}}=(2,5).
Para [\,( -4,1)\,]_{\mathcal{B}}=(a,b) resolvemos
-4a + 2b = -4,\quad 3a - b = 1,
seguindo o mesmo procedimento obtemos a=-1 e b=-4.

Passo 4

Assim a matriz de mudança de base P é
P = \begin{pmatrix} 2 & -1\\\\ 5 & -4 \end{pmatrix},
onde P[\!v\!]_{\mathcal{C}}=[\!v\!]_{\mathcal{B}}.

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & -1\\\\ 5 & -4 \end{pmatrix}.

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