Considere as bases \mathcal{B}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} e \mathcal{C}=\left\{\mathbf{g}_{1}, \mathbf{g}_{2}, \mathbf{g}_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3} relacionadas pelas seguintes equações:
\mathbf{g}_{1}=\mathbf{e}_{1}-\mathbf{e}_{3}, \quad \mathbf{g}_{2}=2 \mathbf{e}_{2}+3 \mathbf{e}_{3}, \quad \mathbf{g}_{3}=3 \mathbf{e}_{1}+\mathbf{e}_{3} .
(a) Determine as matrizes de mudança de base de \mathcal{B} para \mathcal{C}\left(P_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}\right) e de \mathcal{C} para \mathcal{B}\left(P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}\right).
(b) Se um vetor \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{3} tem coordenadas ( 1,2,3 ) em relação à base \mathcal{B}, quais são as coordenadas de \mathbf{u} em relação à base \mathcal{C} ?

Passo 1

O enunciado pede a transformação de coordenadas entre duas bases de \mathbb{R}^3:
\mathcal{B}=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3\} (base canônica)
\mathcal{C}=\{\mathbf g_1,\mathbf g_2,\mathbf g_3\} com
\mathbf g_1=\mathbf e_1-\mathbf e_3, \quad \mathbf g_2=2\mathbf e_2+3\mathbf e_3, \quad \mathbf g_3=3\mathbf e_1+\mathbf e_3.
Precisamos:
  1. A matriz de mudança de base de \mathcal{C} para \mathcal{B}, P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}, que leva coordenadas em \mathcal{C} às coordenadas em \mathcal{B}.
  2. A matriz inversa P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}=(P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C})^{-1}.
  3. Usar P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} para achar as coordenadas em \mathcal{C} de um vetor que em \mathcal{B} vale (1,2,3).

Passo 2

Para montar P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}, colocamos em cada coluna j as coordenadas de \mathbf g_j na base \mathcal{B}. Assim:
\mathbf g_1=1\mathbf e_1+0\mathbf e_2-1\mathbf e_3\;\longrightarrow\;(1,0,-1), \quad \mathbf g_2=(0,2,3), \quad \mathbf g_3=(3,0,1).
Logo
P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ -1& 3 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora invertendo P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C} para obter
P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} =\bigl(P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}\bigr)^{-1}.
Cálculo rápido do inverso dá determinante 8 e adjunta tal que
P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} =\frac1{8} \begin{pmatrix} 2 & 9 & -6\\\\ 0 & 4 & 0\\\\ 2 & -3 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Dado [\mathbf u]_{\mathcal B}=(1,2,3)^{T}, suas coordenadas em \mathcal C são
[\mathbf u]_{\mathcal C} = P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}\; [\mathbf u]_{\mathcal B} =\frac1{8} \begin{pmatrix} 2 & 9 & -6\\\\ 0 & 4 & 0\\\\ 2 & -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} =\frac1{8}\begin{pmatrix}2\\\ 8\\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/4\\\ 1\\\ 1/4\end{pmatrix}.

Resposta

P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ -1& 3 & 1 \end{pmatrix},
\quad
P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} =\frac1{8} \begin{pmatrix} 2 & 9 & -6\\\\ 0 & 4 & 0\\\\ 2 & -3 & 2 \end{pmatrix}.
As coordenadas de \mathbf u em \mathcal C são
\bigl(1/4,\,1,\,1/4\bigr).

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