Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
(i) x=3 cos t, y=2 sin t, t in[0,2 pi].
As equações dos três primeiros itens representam a mesma curva?

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas de um traçado fechado no plano, relacionadas a uma curva do tipo elipse com paramêtro t variando de 0 a 2π.

Passo 2

Para obter a equação cartesiana, usamos as identidades trigonométricas: quadramos x e y e somamos. Temos x=3\cos t e y=2\sin t, então

Passo 3

x^29 + y^24 = cos^2 t + sin^2 t = 1,

Passo 4

Portanto, a curva é a elipse de semieixos 3 (eixo x) e 2 (eixo y). Quanto à pergunta sobre as três primeiras parametrizações, não é possível responder pois só recebemos o item (i) e não temos as outras duas equações paramétricas.

Resposta

A equação cartesiana é
x^29 + y^24 = 1
Não há como determinar se as três primeiras parametrizações representam a mesma curva sem conhecer os itens (ii) e (iii).

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