Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral sin xcos ^3 x d x

Passo 1

Beleza, a missão é calcular a integral indefinida integral sin xcos^3 x,dx. Isso cai em integrais do tipo substituição, pois a derivada de cos x aparece no integrando.

Passo 2

Definimos u = cos x. Então du = -sin x,dx, o que casa direitinho com o sin x,dx que temos.

Passo 3

Trocando tudo para u, note que cos^3 x = u^3 e sin x,dx = -du. A integral fica
[ -\int u^{-3},du ]
Aplicamos a regra de potências integral u^n,du = u^n+1n+1 + C. Aqui n=-3, então
[ -\int u^{-3},du = -\frac{u^{-2}}{-2} + C = \frac{u^{-2}}{2} + C ]

Passo 4

Voltando para x: como u=cos x, temos u^-2=cos^-2x. Logo
[ \frac{u^{-2}}{2} = \frac{1}{2\cos^2 x} = \frac{1}{2}\sec^2 x ]

Resposta

tfrac12sec^2 x + C

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