Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a parametrização
,
,
para .
Queremos (i) esboçar a curva no plano e (ii) eliminar
para obter a equação cartesiana.
para
Queremos (i) esboçar a curva no plano
Passo 2
Da segunda equação,
segue
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Reescrevendo a relação anterior em forma canônica, temos
ou seja
Passo 4
Reconhecemos que
é a equação de uma parábola com:
– vértice em ,
– eixo paralelo ao eixo (reta
),
– abertura para a direita.
– vértice em
– eixo paralelo ao eixo
– abertura para a direita.
Passo 5
Para orientar o traçado, marcamos alguns pontos:
– para :
– para
– para
:
– para
:
Quando
,
,
; quando
,
,
. A curva é percorrida de cima-à-direita até o vértice e depois segue para baixo-à-direita.
Resposta
A equação cartesiana é
Trata-se de uma parábola de vértice em
, eixo horizontal e abertura para a direita. No esboço, ela passa pelos pontos
,
,
e é percorrida de cima para baixo à medida que
cresce.