Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
x=t^2-4, y=1-t, t in R.

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização
x = t^2 - 4,
y = 1 - t,
para tinR.
Queremos (i) esboçar a curva no plano xy e (ii) eliminar t para obter a equação cartesiana.

Passo 2

Da segunda equação,
y = 1 - t
segue
t = 1 - y
Substituindo em x = t^2 - 4 obtemos
x = (1 - y)^2 - 4

Passo 3

Reescrevendo a relação anterior em forma canônica, temos
x + 4 = (y - 1)^2,
ou seja
(y - 1)^2 = x + 4

Passo 4

Reconhecemos que (y - 1)^2 = x + 4 é a equação de uma parábola com:
– vértice em (-4,1),
– eixo paralelo ao eixo x (reta y=1),
– abertura para a direita.

Passo 5

Para orientar o traçado, marcamos alguns pontos:
– para t=-1:
x = (-1)^2 - 4 = -3, y = 1 - (-1) = 2;
– para t=0:
x = -4, y = 1;
– para t=1:
x = 1 - 4 = -3, y = 0
Quando tto -infty, yto+infty, xto+infty; quando tto+infty, yto-infty, xto+infty. A curva é percorrida de cima-à-direita até o vértice e depois segue para baixo-à-direita.

Resposta

A equação cartesiana é
(y - 1)^2 = x + 4
Trata-se de uma parábola de vértice em (-4,1), eixo horizontal e abertura para a direita. No esboço, ela passa pelos pontos (-3,2), (-4,1), (-3,0) e é percorrida de cima para baixo à medida que t cresce.

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