Encontre e classifique os pontos críticos da função e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio.
(e)
Passo 1
O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos de
no domínio , e verificar se há extremo absoluto. Vamos usar o método de buscar para encontrar candidatos e, em seguida, o teste do Hessiano para classificar o tipo de extremo. Como é uma função quadrática com matriz Hessiana constante, qualquer mínimo local será também mínimo absoluto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Do sistema
dividindo a primeira equação por 2 obtemos x+y=-2, ou seja x=-2-y. Substituindo na segunda:
Como D1>0 e D2>0, o Hessiano é definido positivo, indicando que o ponto crítico é um mínimo local.
Passo 4
Para funções quadráticas cujo Hessiano é definido positivo em todo R^2, a função é convexa e o mínimo local é também mínimo absoluto. Portanto, f atinge seu valor mínimo global em l(-tfrac32,,-tfrac12r).