Encontre e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio.
(e) z=x^2+2 x y+3 y^2+4 x+6 y

Passo 1

O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos de
z = f(x,y) = x^2 + 2xy + 3y^2 + 4x + 6y
no domínio R^2, e verificar se há extremo absoluto. Vamos usar o método de buscar nabla f=0 para encontrar candidatos e, em seguida, o teste do Hessiano para classificar o tipo de extremo. Como é uma função quadrática com matriz Hessiana constante, qualquer mínimo local será também mínimo absoluto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
fx = partial fpartial x = 2x + 2y + 4 = 0,
fy = partial fpartial y = 2x + 6y + 6 = 0
Do sistema
2x + 2y + 4 = 0, 2x + 6y + 6 = 0,
dividindo a primeira equação por 2 obtemos x+y=-2, ou seja x=-2-y. Substituindo na segunda:
2(-2-y) + 6y + 6 = 0 ;Longrightarrow;-4 -2y +6y +6 = 0 ;Longrightarrow;4y +2 = 0 ;Longrightarrow;y = -tfrac12,
logo x = -2 -(-tfrac12) = -tfrac32. O ponto crítico é l(-tfrac32,,-tfrac12r).

Passo 3

Formamos o Hessiano, matriz das segundas derivadas:
H = fxx & fxy fyx & fyy = 2 & 2 2 & 6
Calculamos os principais menores:
D1 = 2 > 0, D2 = det H = 2cdot6 - 2cdot2 = 12 - 4 = 8 > 0
Como D1>0 e D2>0, o Hessiano é definido positivo, indicando que o ponto crítico é um mínimo local.

Passo 4

Para funções quadráticas cujo Hessiano é definido positivo em todo R^2, a função é convexa e o mínimo local é também mínimo absoluto. Portanto, f atinge seu valor mínimo global em l(-tfrac32,,-tfrac12r).

Passo 5

Calculamos o valor mínimo:
fl(-tfrac32,-tfrac12r) = l(-tfrac32r)^2 +2l(-tfrac32r)l(-tfrac12r) +3l(-tfrac12r)^2 +4l(-tfrac32r) +6l(-tfrac12r)
Passo a passo:
l(-tfrac32r)^2=tfrac94, 2cdotl(-tfrac32r)l(-tfrac12r)=tfrac32, 3cdottfrac14=tfrac34,
4cdotl(-tfrac32r)=-6, 6cdotl(-tfrac12r)=-3
Somando:
tfrac94 + tfrac32 + tfrac34 = tfrac184 = tfrac92, tfrac92 -6 -3 = tfrac92 -9 = -tfrac92

Resposta

Ponto crítico: l(-tfrac32,,-tfrac12r).
Tipo: mínimo (local e absoluto).
Valor mínimo: f=-tfrac92.

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