Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
e pede duas coisas:
- Esboçar a curva dada por essas equações (ou seja, saber a forma e como ela é percorrida quando
varia). - Determinar a equação cartesiana (ou seja, eliminar o parâmetro
e obter uma relação entre e ).
Informações relevantes fornecidas:
- O fator multiplicador de
é (logo fica entre e ). - O fator multiplicador de
é (logo fica entre e ). - O parâmetro
percorre todo o intervalo (então a curva inteira é traçada uma vez).
Passo 2
Idéia para eliminar o parâmetro (a ferramenta principal): a identidade trigonométrica fundamental
Essa identidade vale para qualquer
. Se eu consigo escrever
e
em função de
e
, posso substituir na identidade e obter uma relação entre
e
só.
Passo prático: isolo
e
a partir das equações paramétricas. Dividindo cada equação pelo seu coeficiente:
Agora vou aplicar a identidade trigonométrica substituindo essas expressões.
Passo 3
Substituindo
e
em
obtemos:
Essa é a equação cartesiana procurada. Vamos explicar o que ela significa e como usar para esboçar.
Passo 4
Interpretação geométrica e esboço da curva (como desenhar na prova, passo a passo):
- A equação
é a equação de uma elipse centrada na origem. - Os semi-eixos da elipse são
ao longo do eixo (porque quando temos ) e ao longo do eixo (porque quando temos ). - Então para esboçar: marque os pontos
, , e e ligue suavemente formando uma elipse achatada no sentido vertical. - Orientação do percurso (importante para esboço paramétrico): para saber em que sentido a elipse é percorrida quando
aumenta, examine alguns valores simples de : -
dá . -
dá . -
dá . -
dá .
Assim, o movimento é depara para para e volta a : isso é no sentido anti-horário (sentido anti-horário = sentido positivo).
-
- Outra verificação (derivadas):
e . Em temos , ou seja a curva parte de dirigindo-se para positivo — confirma o sentido anti-horário. - Resumo do esboço: elipse centrada na origem, eixo maior no
de comprimento , eixo menor no de comprimento , percorrida no sentido anti-horário à medida que vai de a .
Exemplo rápido para memorização: a parametrização geral
sempre gera a elipse
e se
volta a ser um círculo de raio
.
Resposta
Esboço: elipse centrada na origem com semi-eixos
\ (eixo
) e
\ (eixo
), percorrida no sentido anti-horário começando em
.