Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
\quad x=3 \cos t, \quad y=2 \operatorname{sen} t, \quad t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=3\cos t,\qquad y=2\operatorname{sen} t,\qquad t\in[0,2\pi],
e pede duas coisas:
  • Esboçar a curva dada por essas equações (ou seja, saber a forma e como ela é percorrida quando t varia).
  • Determinar a equação cartesiana (ou seja, eliminar o parâmetro t e obter uma relação entre x e y).
Informações relevantes fornecidas:
  • O fator multiplicador de \cos t é 3 (logo x fica entre -3 e 3).
  • O fator multiplicador de \operatorname{sen} t é 2 (logo y fica entre -2 e 2).
  • O parâmetro t percorre todo o intervalo [0,2\pi] (então a curva inteira é traçada uma vez).

Passo 2

Idéia para eliminar o parâmetro (a ferramenta principal): a identidade trigonométrica fundamental
\cos^2 t + \operatorname{sen}^2 t = 1.
Essa identidade vale para qualquer t. Se eu consigo escrever \cos t e \operatorname{sen} t em função de x e y, posso substituir na identidade e obter uma relação entre x e y só.
Passo prático: isolo \cos t e \operatorname{sen} t a partir das equações paramétricas. Dividindo cada equação pelo seu coeficiente:
\frac{x}{3}=\cos t,\qquad \frac{y}{2}=\operatorname{sen} t.
Agora vou aplicar a identidade trigonométrica substituindo essas expressões.

Passo 3

Substituindo \cos t=\dfrac{x}{3} e \operatorname{sen} t=\dfrac{y}{2} em \cos^2 t+\operatorname{sen}^2 t=1 obtemos:
\left(\frac{x}{3}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 1.
Essa é a equação cartesiana procurada. Vamos explicar o que ela significa e como usar para esboçar.

Passo 4

Interpretação geométrica e esboço da curva (como desenhar na prova, passo a passo):
  • A equação \left(\dfrac{x}{3}\right)^2+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2=1 é a equação de uma elipse centrada na origem.
  • Os semi-eixos da elipse são a=3 ao longo do eixo x (porque quando y=0 temos x=\pm3) e b=2 ao longo do eixo y (porque quando x=0 temos y=\pm2).
  • Então para esboçar: marque os pontos (3,0), (-3,0), (0,2) e (0,-2) e ligue suavemente formando uma elipse achatada no sentido vertical.
  • Orientação do percurso (importante para esboço paramétrico): para saber em que sentido a elipse é percorrida quando t aumenta, examine alguns valores simples de t:
    • t=0 (x,y)=(3,0).
    • t=\tfrac{\pi}{2} (x,y)=(0,2).
    • t=\pi (x,y)=(-3,0).
    • t=\tfrac{3\pi}{2} (x,y)=(0,-2).
      Assim, o movimento é de (3,0) para (0,2) para (-3,0) para (0,-2) e volta a (3,0): isso é no sentido anti-horário (sentido anti-horário = sentido positivo).
  • Outra verificação (derivadas): \dfrac{dx}{dt}=-3\operatorname{sen} t e \dfrac{dy}{dt}=2\cos t. Em t=0 temos (dx/dt,d y/dt)=(0,2), ou seja a curva parte de (3,0) dirigindo-se para y positivo — confirma o sentido anti-horário.
  • Resumo do esboço: elipse centrada na origem, eixo maior no x de comprimento 2\cdot3=6, eixo menor no y de comprimento 2\cdot2=4, percorrida no sentido anti-horário à medida que t vai de 0 a 2\pi.
Exemplo rápido para memorização: a parametrização geral
x=a\cos t,\qquad y=b\operatorname{sen} t
sempre gera a elipse
\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1,
e se a=b volta a ser um círculo de raio a.

Resposta

Esboço: elipse centrada na origem com semi-eixos \;3\ (eixo x) e \;2\ (eixo y), percorrida no sentido anti-horário começando em (3,0).
\left(\frac{x}{3}\right)^2+\left(\frac{y}{2}\right)^2=1

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