\lim _{x=2} \frac{x^{2}-2 x+1}{2 x-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2} \frac{x^{2}-2x+1}{2x-2}.
Informações dadas:
  • A função considerada é a razão entre o polinômio x^{2}-2x+1 e a expressão linear 2x-2.
  • O ponto onde o limite é pedido é x=2 (isto é, \;x\to 2\;).

Passo 2

Conceito e regra que vamos usar (explicado de forma direta e prática).
  • Intuição: \lim_{x\to a} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x se aproxima de a.
  • Regra útil para funções racionais: se f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} onde p e q são polinômios, e q(a)\neq 0, então a função é contínua em a e vale que
\lim_{x\to a} \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{p(a)}{q(a)}.
Ou seja, quando o denominador não é zero no ponto, basta substituir x=a diretamente.
  • Se q(a)=0 mas p(a)=0 também, temos uma forma indeterminada e aí normalmente fatoramos e simplificamos antes de avaliar o limite.

Passo 3

Verificar se podemos aplicar substituição direta: calcular o denominador em x=2.
2x-2 \big|_{x=2} = 2\cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2.
Como 2\neq 0, o denominador no ponto é diferente de zero. Portanto a função é contínua em x=2 e podemos usar substituição direta para calcular o limite.

Passo 4

Avaliar numerador e denominador em x=2 (passo a passo das contas):
x^{2}-2x+1 \big|_{x=2} = 2^{2} - 2\cdot 2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1,
2x-2 \big|_{x=2} = 2 \quad(\text{como calculado no passo anterior}).
Portanto, substituindo em \dfrac{x^{2}-2x+1}{2x-2} obtemos o valor \dfrac{1}{2}.

Passo 5

Outra maneira (útil para aprender a técnica de fatoração, caso o denominador fosse zero): fatorar o numerador e o denominador.
x^{2}-2x+1 = (x-1)^{2},\qquad 2x-2 = 2(x-1).
Para x\neq 1 a fração simplifica para
\frac{(x-1)^{2}}{2(x-1)} = \frac{x-1}{2}.
Então
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-2x+1}{2x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{x-1}{2} = \frac{1}{2},
o que confirma o resultado obtido pela substituição direta. Esse método é especialmente útil quando a substituição direta dá uma forma 0/0.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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