6{ }^{\text {a }} ) Encontre o domínio e a imagem e esboce o gráfico da função f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x+9 & \text { se } & x<-3 \\\\ -2 x & \text { se } & |x| \leq 3 \\\\ -6 & \text { se } & x>3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} x+9 & \text{se } x<-3,\\[4pt] -2x & \text{se } |x|\le 3,\\[4pt] -6 & \text{se } x>3. \end{cases}
As perguntas são:
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (conjunto-valor, range) de f.
  • Esboçar o gráfico de f.
Informações relevantes dadas:
  • A primeira parte vale para x<-3.
  • A segunda parte vale para -3\le x\le 3 (pois |x|\le3 significa exatamente isso).
  • A terceira parte vale para x>3.]

Passo 2

Determinar o domínio: o domínio é o conjunto de todos os x nos quais a função está definida. As três partes cobrem, respectivamente, os intervalos x<-3, -3\le x\le 3 e x>3. A união desses intervalos é todo o eixo real, porque não sobra nenhum x. Logo o domínio é
\mathbb{R}.
Explicando didaticamente: sempre que as condições das partes se encadeiam sem buracos (aqui x<-3, depois -3\le x\le3, depois x>3), a função está definida para todo x.

Passo 3

Calcular valores nos pontos de fronteira (importante para a imagem e para o desenho):
  • Para x=-3 aplica-se a segunda parte, pois |-3|=3\le3. Assim
f(-3)=-2(-3)=6.
  • Para x=3 aplica-se também a segunda parte. Assim
f(3)=-2(3)=-6.
Observações sobre inclusão/exclusão: a primeira parte tem condição estrita x<-3 (não inclui -3), a segunda inclui -3 e 3, a terceira tem x>3 (não inclui 3). Portanto no gráfico haverá um ponto fechado (cheio) em (-3,6) vindo da segunda parte; a parte da esquerda se aproxima de (-3,6) mas não o atinge (abriremos a bolinha se desenharmos só a primeira parte). Em x=3 a segunda já dá o ponto fechado (3,-6); a terceira parte produz a reta horizontal para a direita em y=-6, começando imediatamente após x=3 (sem incluir x=3 nessa parte).

Passo 4

Imagem da parte esquerda ( f(x)=x+9 para x<-3):
  • A função x+9 é linear de inclinação 1 (é estritamente crescente).
  • Quando x\to -\infty temos x+9\to -\infty.
  • Quando x\to -3^{-} (aproximação pela esquerda) temos x+9\to -3+9=6, mas x=-3 não está incluído nessa parte, então 6 não é atingido por essa parte.
    Portanto a imagem produzida por essa parte é o intervalo aberto
(-\infty,6).

Passo 5

Imagem da parte do meio ( f(x)=-2x para -3\le x\le 3):
  • A função -2x é linear com declive -2 (é estritamente decrescente).
  • Em x=-3 ela vale 6 (já calculado) e em x=3 vale -6.
  • Sobre o intervalo [-3,3], por ser contínua e monotônica, a imagem é o intervalo fechado [-6,6] (vai de -6 até 6, incluindo as extremidades porque os extremos x=-3 e x=3 estão no domínio da parte).
    Logo a imagem da parte do meio é
[-6,6].

Passo 6

Imagem da parte direita ( f(x)=-6 para x>3):
  • É função constante igual a -6 para todos os x>3.
  • A imagem desta parte é o conjunto singleton \{-6\}.
    Note que -6 já está na imagem da parte do meio (em x=3), então essa parte não acrescenta novos valores à união final além de reforçar que -6 aparece também para x>3.

Passo 7

Unir as imagens das três partes:
  • Parte esquerda: (-\infty,6).
  • Parte do meio: [-6,6].
  • Parte direita: \{-6\}.
A união é
(-\infty,6)\\ \cup\\ [-6,6]\\ =\\ (-\infty,6].
Explicando: (-\infty,6) já cobre todos os valores menores que 6; a parte do meio inclui o valor 6 (em x=-3), então o 6 fica incluído na união. Não há valores maiores que 6. Portanto a imagem (range) de f é (-\infty,6].

Passo 8

Instruções para esboçar o gráfico (faça à mão seguindo estas etapas):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Parte esquerda ( x<-3): trace a reta y=x+9 para a região à esquerda de x=-3. Essa reta tem inclinação 1 e intercepto em y=9. Ao aproximar x de -3 pela esquerda a reta vai a ( -3,6) — desenhe uma bolinha aberta aí se estiver desenhando apenas a primeira parte; porém a segunda parte coloca um ponto fechado no mesmo lugar (veja abaixo).
  3. Ponto em x=-3: marque um ponto preenchido (cheio) em (-3,6) porque a segunda parte inclui -3 e dá f(-3)=6.
  4. Parte do meio ( -3\le x\le3): trace o segmento de reta da coordenada (-3,6) até (3,-6) correspondente a y=-2x. Ambos os extremos estão incluídos (pontos fechados em (-3,6) e (3,-6)).
  5. Parte direita ( x>3): desenhe a semi-reta horizontal y=-6 para x>3. Em x=3 essa parte não inclui o ponto, mas já há um ponto fechado em (3,-6) vindo da parte do meio, então no desenho haverá o traço horizontal começando imediatamente à direita de x=3 e um ponto fechado em (3,-6).
  6. Acrescente setas para a parte esquerda indicando que a reta vai para -\infty em y quando x\to -\infty.
Pequena verificação visual: o gráfico tem um ramo oblíquo que vem de baixo à esquerda, chega ao ponto (-3,6), daí segue uma reta decrescente até (3,-6) e depois continua horizontal à direita em y=-6.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty,6]

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