Para cada um dos seguintes pares escolha a substância com a entropia mais elevada (por mol) na temperatura considerada.
1 mol de \mathrm{N}_{2}(\mathrm{~g}) em 50 L e 1 mol de \mathrm{N}_{2}(\mathrm{~g}) em 5 L

Passo 1

O enunciado dá dois sistemas e pede que eu escolha qual tem maior entropia (por mol) à mesma temperatura. Informações claras:
  • Sistema A: 1 mol de \mathrm{N}_2(g) ocupando 50\\ \mathrm{L}.
  • Sistema B: 1 mol de \mathrm{N}_2(g) ocupando 5\\ \mathrm{L}.
  • A temperatura é a mesma nos dois casos (diz o enunciado: “na temperatura considerada”).
    Pergunta final: qual das duas amostras tem entropia maior? (Se precisar, também posso calcular a diferença numérica entre as entropias.)

Passo 2

Vamos lembrar uma relação fundamental que liga calor reversível e entropia: por definição diferencial,
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},
onde S é entropia, \delta Q_{\text{rev}} é a quantidade de calor trocada de forma reversível e T é a temperatura absoluta. Explico cada símbolo:
  • dS: variação infinitesimal de entropia;
  • \delta Q_{\text{rev}}: calor recebido reversivelmente pelo sistema (não é uma diferencial exata, por isso o \delta);
  • T: temperatura (em kelvin).
Para um gás ideal em um processo isotérmico reversível, o calor reversível trocado é igual ao trabalho reversível com sinal trocado, e o trabalho reversível é
\delta W_{\text{rev}}=P\,dV.
Como o processo é isotérmico para gás ideal, a pressão satisfaz a equação de estado
P=\frac{nRT}{V},
onde:
  • n é o número de mols;
  • R é a constante dos gases ideais ( R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}});
  • V é o volume.
Substituindo P em \delta Q_{\text{rev}}= \delta W_{\text{rev}} = P\,dV (para um processo reversível isotérmico, o calor recebido é igual ao trabalho realizado sobre o sistema com sinal apropriado) e usando a definição de dS, obtemos:
dS=\frac{P\,dV}{T}=\frac{nRT}{V}\cdot\frac{dV}{T}=nR\frac{dV}{V}.

Passo 3

Integro a expressão para passar de um volume V_i a um volume V_f. A integral é simples:
\Delta S=\int_{S_i}^{S_f} dS = nR\int_{V_i}^{V_f}\frac{dV}{V}=nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Esta fórmula diz: para um gás ideal à mesma temperatura, a variação de entropia ao mudar o volume de V_i para V_f é nR\ln(V_f/V_i). Aqui:
  • n é o número de mols;
  • R constante dos gases;
  • V_i,V_f volumes inicial e final.
No nosso caso queremos comparar entropias absolutas de dois estados distintos à mesma T e com o mesmo n. Podemos fixar um estado de referência (por exemplo o estado com 5\\ \mathrm{L}) e calcular a diferença:
  • Tome V_i=5\\ \mathrm{L} e V_f=50\\ \mathrm{L} com n=1.
    Então
\Delta S = 1\cdot R\ln\!\left(\frac{50}{5}\right)=R\ln(10).

Passo 4

Calculo numérico aproximado para ter uma ideia da diferença:
\ln(10)\approx 2{,}302585\ldots
e com R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}},
\Delta S \approx 8{,}314\times 2{,}302585 \approx 19{,}15\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Interpretação: a amostra com maior volume tem entropia maior. Aqui, 1 mol em 50\\ \mathrm{L} tem entropia maior que 1 mol em 5\\ \mathrm{L} por aproximadamente 19{,}15\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 5

Intuição física (curta e amiga): entropia mede o número de microestados acessíveis / “grau de desordem”. Se o gás tem mais volume disponível, as moléculas têm mais posições possíveis — logo mais microestados e maior entropia. Então volume maior → entropia maior, para mesma n e T.

Resposta

1 mol de \mathrm{N}_{2}(g) em 50\\ \mathrm{L} — entropia maior. \Delta S = R\ln(10)\approx 19{,}15\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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