Em cada um dos seguintes problemas é dada uma função no intervalo -\pi<\mathrm{x}<\pi. Faça o esboço de vários períodos da função. Expanda a função periódica em série de Fourier.
\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{lr} 0, & -\pi<x<0, \\\\ 1, & 0<x<\frac{\pi}{2}, \\\\ 0, & \frac{\pi}{2}<x<\pi . \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado dá uma função definida no intervalo -\pi<x<\pi\) por partes e pede duas coisas: (i) fazer o esboço de vários períodos da função (ou seja, a extensão periódica de período \(2\pi\)) e (ii) expandir a função periódica em série de Fourier. As informações fornecidas são exatamente: \[f(x)=\begin{cases} 0, & -\pi<x<0,\\[4pt] 1, & 0<x<\dfrac{\pi}{2},\\[4pt] 0, & \dfrac{\pi}{2}<x<\pi. \end{cases}
Note que o enunciado não especifica os valores de f\] nos pontos \(x=0 e x=\pm \dfrac{\pi}{2} e x=\pm\pi; para a série de Fourier isso não importa: a série, nesses pontos de descontinuidade, converge para a média das duas vizinhanças (a média das cotas laterais).]

Passo 2

Esboço da função periódica (descrição): na janela fundamental -\pi<x<\pi a função é zero em -\pi<x<0, salta para o valor 1 em x=0 e permanece 1 até x=\pi/2, e depois salta para 0 em \pi/2<x<\pi. A extensão periódica de período 2\pi repete esse padrão para cada intervalo [2k\pi-\pi,2k\pi+\pi), k\in\mathbb{Z}. Ou seja, visualmente temos uma “onda quadrada assimétrica”: blocos de altura 0 de comprimento \pi seguidos por um bloco de altura 1 de comprimento \pi/2, em ciclo repetido com período 2\pi. Em pontos de salto a série converge para a média do limite à esquerda e à direita (por exemplo em x=0 a média é (0+1)/2=1/2). (Este é o esboço pedido; desenhe retângulos repetidos a cada 2\pi.)

Passo 3

Fórmulas da série de Fourier (relembrando): para uma função 2\pi-periódica e integrável, a série de Fourier é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.
Interpretação rápida: a_0/2 é o termo constante (média da função sobre um período), a_n mede a “projeção” sobre \cos(nx) e b_n sobre \sin(nx). Vamos calcular cada integral usando que f(x) é diferente de zero só em 0<x<\pi/2.

Passo 4

Cálculo de a_0 (termo constante). Usamos
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx.
Como f(x)=1 apenas em 0<x<\pi/2 e é zero no resto, a integral reduz a
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=\int_{0}^{\pi/2}1\,dx=\left[x\right]_{0}^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.
Logo
a_0=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto o termo constante na série é
\frac{a_0}{2}=\frac{1}{4}.
(Comentário prático: a média da função num período é 1/4.)

Passo 5

Cálculo de a_n\). Pela definição, \[a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx.
Usando que f(x) só é 1 em 0<x<\pi/2, obtemos
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos(nx)\,dx.
Calcule a integral: \displaystyle \int \cos(nx)\,dx=\frac{\sin(nx)}{n}. Portanto
\int_{0}^{\pi/2}\cos(nx)\,dx=\left.\frac{\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi/2}=\frac{\sin\!\left(n\frac{\pi}{2}\right)-\sin(0)}{n}=\frac{\sin\!\left(n\frac{\pi}{2}\right)}{n}.
Logo
a_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\sin\!\left(n\frac{\pi}{2}\right)}{n}=\frac{\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{\pi n}.
Observação útil (para cálculo rápido): \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right) vale 0,\,1,\,0,\,-1 repetidamente conforme n é congruente a 0,1,2,3 mod 4. Assim
a_n=\begin{cases} 0, & n\\ \text{par} \;(n=2k),\\[4pt] \dfrac{1}{\pi(4k+1)}, & n=4k+1,\\[6pt] -\dfrac{1}{\pi(4k+3)}, & n=4k+3. \end{cases}
Ex.: (a_1=\dfrac{1}{\pi},\ a_2=0,\ a_3=-\dfrac{1}{3\pi},\ a_4=0,···]]

Passo 6

Cálculo de b_n. Pela definição,
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\sin(nx)\,dx.
Calculamos a integral: \displaystyle \int \sin(nx)\,dx=-\frac{\cos(nx)}{n}. Então
\int_{0}^{\pi/2}\sin(nx)\,dx=\left.-\frac{\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi/2}=\frac{-\cos\!\left(n\frac{\pi}{2}\right)+\cos(0)}{n}=\frac{1-\cos\!\left(n\frac{\pi}{2}\right)}{n}.
Portanto
b_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1-\cos\!\left(n\frac{\pi}{2}\right)}{n}=\frac{1-\cos\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{\pi n}.
Também podemos usar as classes mod 4 para ver o padrão de b_n:
  • Se n=4k, então \cos(n\pi/2)=1 e b_n=0.
  • Se n=4k+1 ou n=4k+3, então \cos(n\pi/2)=0 e b_n=\dfrac{1}{\pi n}.
  • Se n=4k+2, então \cos(n\pi/2)=-1 e b_n=\dfrac{2}{\pi n}.
    Ex.: b_1=\dfrac{1}{\pi},\\ b_2=\dfrac{1}{\pi},\\ b_3=\dfrac{1}{3\pi},\\ b_4=0,\ldots

Passo 7

Escrevendo a série de Fourier completa. Substituindo a_0, a_n e b_n na forma geral:
f(x)\sim \frac{1}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{\pi n}\cos(nx)+\frac{1-\cos\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{\pi n}\sin(nx)\right).
Para ver o padrão, os primeiros termos (expandindo n=1,2,3,4) dão
f(x)\approx \frac{1}{4}+\frac{1}{\pi}\big(\cos x+\sin x\big)+\frac{1}{\pi}\sin 2x+\frac{1}{3\pi}\big(-\cos 3x+\sin 3x\big)+\cdots,
onde observamos que todos os termos com n múltiplo de 4 desaparecem.

Passo 8

Comentário de convergência e dica para a prova: a série converge para f(x) em todos os pontos onde f é contínua. Nos pontos de salto (por exemplo x=0 ou x=\pi/2 ou equivalentes mod 2\pi) a série converge para a média dos limites à esquerda e à direita (por exemplo em x=0 a soma dá 1/2). Na prova, calcule sempre os coeficientes usando apenas a região onde f é não nula; use as fórmulas padrão e trate valores trigonométricos especiais (como \sin(n\pi/2) e \cos(n\pi/2)) com a tabela de resíduos mod 4.

Resposta

Esboço: extensão periódica de período 2\pi com f(x)=0 em cada intervalo (2k\pi-\pi,2k\pi), f(x)=1 em cada intervalo (2k\pi,2k\pi+\pi/2), repetido para todo k\in\mathbb{Z}.
Série de Fourier:
f(x)\sim \frac{1}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{\pi n}\cos(nx)+\frac{1-\cos\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{\pi n}\sin(nx)\right).

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