Em cada um dos seguintes problemas é dada uma função no intervalo -\pi<\mathrm{x}<\pi. Faça o esboço de vários períodos da função. Expanda a função periódica em série de Fourier. \displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{lr} 0, & -\pi<x<0, \\\\ 1, & 0<x<\frac{\pi}{2}, \\\\ 0, & \frac{\pi}{2}<x<\pi . \end{array} \right.
Passo 1
O enunciado dá uma função definida no intervalo -\pi<x<\pi\) por partes e pede duas coisas: (i) fazer o esboço de vários períodos da função (ou seja, a extensão periódica de período \(2\pi\)) e (ii) expandir a função periódica em série de Fourier. As informações fornecidas são exatamente:
\[f(x)=\begin{cases} 0, & -\pi<x<0,\\[4pt] 1, & 0<x<\dfrac{\pi}{2},\\[4pt] 0, & \dfrac{\pi}{2}<x<\pi. \end{cases}
Note que o enunciado não especifica os valores de f\] nos pontos \(x=0 e x=\pm \dfrac{\pi}{2} e x=\pm\pi; para a série de Fourier isso não importa: a série, nesses pontos de descontinuidade, converge para a média das duas vizinhanças (a média das cotas laterais).]
Passo 2
Esboço da função periódica (descrição): na janela fundamental -\pi<x<\pi a função é zero em -\pi<x<0, salta para o valor 1 em x=0 e permanece 1 até x=\pi/2, e depois salta para 0 em \pi/2<x<\pi. A extensão periódica de período 2\pi repete esse padrão para cada intervalo [2k\pi-\pi,2k\pi+\pi), k\in\mathbb{Z}. Ou seja, visualmente temos uma “onda quadrada assimétrica”: blocos de altura 0 de comprimento \pi seguidos por um bloco de altura 1 de comprimento \pi/2, em ciclo repetido com período 2\pi. Em pontos de salto a série converge para a média do limite à esquerda e à direita (por exemplo em x=0 a média é (0+1)/2=1/2). (Este é o esboço pedido; desenhe retângulos repetidos a cada 2\pi.)
Passo 3
Fórmulas da série de Fourier (relembrando): para uma função 2\pi-periódica e integrável, a série de Fourier é
Interpretação rápida: a_0/2 é o termo constante (média da função sobre um período), a_n mede a “projeção” sobre \cos(nx) e b_n sobre \sin(nx). Vamos calcular cada integral usando que f(x) é diferente de zero só em 0<x<\pi/2.
Passo 4
Cálculo de a_0 (termo constante). Usamos
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx.
Como f(x)=1 apenas em 0<x<\pi/2 e é zero no resto, a integral reduz a
Observação útil (para cálculo rápido): \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right) vale 0,\,1,\,0,\,-1 repetidamente conforme n é congruente a 0,1,2,3 mod 4. Assim
onde observamos que todos os termos com n múltiplo de 4 desaparecem.
Passo 8
Comentário de convergência e dica para a prova: a série converge para f(x) em todos os pontos onde f é contínua. Nos pontos de salto (por exemplo x=0 ou x=\pi/2 ou equivalentes mod 2\pi) a série converge para a média dos limites à esquerda e à direita (por exemplo em x=0 a soma dá 1/2). Na prova, calcule sempre os coeficientes usando apenas a região onde f é não nula; use as fórmulas padrão e trate valores trigonométricos especiais (como \sin(n\pi/2) e \cos(n\pi/2)) com a tabela de resíduos mod 4.
Resposta
Esboço: extensão periódica de período 2\pi com f(x)=0 em cada intervalo (2k\pi-\pi,2k\pi), f(x)=1 em cada intervalo (2k\pi,2k\pi+\pi/2), repetido para todo k\in\mathbb{Z}.