Em cada um dos seguintes problemas, encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma implícita
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial a seguir. Pergunta-se a solução em forma implícita.
Dado:
com condição inicial
O que se pede:
- Encontrar a solução do problema de valor inicial dada em forma implícita (ou seja, uma relação entre
e que seja satisfeita pela solução).
Passo 2
Vamos escolher um método para resolver. A equação está escrita como
. Aqui
. Repare que os termos que envolvem
aparecem apenas no denominador do lado direito e os termos que envolvem
aparecem apenas no numerador. Isso indica que podemos usar o método de separação de variáveis: manipular a equação para colocar todos os termos com
num lado (multiplicando por
e reorganizando) e os termos com
no outro lado, e então integrar. Não se preocupe, eu explico passo a passo como fazer isso.
Passo 3
Faço a separação de variáveis. Escrevo
e multiplico ambos os lados por
:
Agora os
estão juntos à esquerda e os
à direita — pronto para integrar.
Passo 4
Integro ambos os lados. Vou explicar cada integral:
é a soma de
e
. A integral de
em relação a
é
. A integral de
em relação a
é
. Do outro lado,
é
. Ao integrar, devemos lembrar de incluir a constante de integração
. Então obtemos:
Passo 5
Agora aplico a condição inicial para determinar a constante
. A condição é
, ou seja, quando
temos
. Substituo esses valores na relação integrada:
Logo
Passo 6
Substituo
na expressão integrada para obter a solução implícita final:
Esta é a relação implícita entre
e
que resolve o problema de valor inicial.
Passo 7
(opcional, para entender melhor) Se você quisesse a forma explícita
, pode resolver a equação quadrática em
:
Usando fórmula de Bhaskara,
Para escolher o sinal correto, imponha a condição
. Em
temos
. Tomando o sinal
temos
, que corresponde à condição inicial. Assim a solução explícita da mesma família é
, definida onde o discriminante é não-negativo (isto é,
). Mas como o enunciado pediu forma implícita, a resposta principal é a relação do Passo 6.