Em cada um dos seguintes problemas, encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma implícita
y^{\prime}=\frac{2 x}{1+2 y}, \quad y(2)=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial a seguir. Pergunta-se a solução em forma implícita.
Dado:
y'=\frac{2x}{1+2y},
com condição inicial
y(2)=0.
O que se pede:
  • Encontrar a solução do problema de valor inicial dada em forma implícita (ou seja, uma relação entre x e y que seja satisfeita pela solução).

Passo 2

Vamos escolher um método para resolver. A equação está escrita como y'=\dfrac{2x}{1+2y}. Aqui y'=\dfrac{dy}{dx}. Repare que os termos que envolvem y aparecem apenas no denominador do lado direito e os termos que envolvem x aparecem apenas no numerador. Isso indica que podemos usar o método de separação de variáveis: manipular a equação para colocar todos os termos com y num lado (multiplicando por dx e reorganizando) e os termos com x no outro lado, e então integrar. Não se preocupe, eu explico passo a passo como fazer isso.

Passo 3

Faço a separação de variáveis. Escrevo y'=\dfrac{dy}{dx} e multiplico ambos os lados por (1+2y)\,dx:
(1+2y)\,dy = 2x\,dx.
Agora os y estão juntos à esquerda e os x à direita — pronto para integrar.

Passo 4

Integro ambos os lados. Vou explicar cada integral: \int (1+2y)\,dy é a soma de \int 1\,dy e \int 2y\,dy. A integral de 1 em relação a y é y. A integral de 2y em relação a y é 2\cdot \frac{y^2}{2}=y^2. Do outro lado, \int 2x\,dx é 2\cdot \frac{x^2}{2}=x^2. Ao integrar, devemos lembrar de incluir a constante de integração C. Então obtemos:
\int (1+2y)\,dy = \int 2x\,dx
\Rightarrow y + y^2 = x^2 + C.

Passo 5

Agora aplico a condição inicial para determinar a constante C. A condição é y(2)=0, ou seja, quando x=2 temos y=0. Substituo esses valores na relação integrada:
0 + 0^2 = 2^2 + C \quad\Rightarrow\quad 0 = 4 + C.
Logo
C = -4.

Passo 6

Substituo C=-4 na expressão integrada para obter a solução implícita final:
y + y^2 = x^2 - 4.
Esta é a relação implícita entre x e y que resolve o problema de valor inicial.

Passo 7

(opcional, para entender melhor) Se você quisesse a forma explícita y=y(x), pode resolver a equação quadrática em y:
y^2 + y - (x^2-4)=0.
Usando fórmula de Bhaskara,
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4(x^2-4)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4x^2-15}}{2}.
Para escolher o sinal correto, imponha a condição y(2)=0. Em x=2 temos \sqrt{4\cdot 2^2-15}=\sqrt{16-15}=1. Tomando o sinal + temos y(2)=\dfrac{-1+1}{2}=0, que corresponde à condição inicial. Assim a solução explícita da mesma família é y=\dfrac{-1+\sqrt{4x^2-15}}{2}, definida onde o discriminante é não-negativo (isto é, 4x^2-15\ge 0). Mas como o enunciado pediu forma implícita, a resposta principal é a relação do Passo 6.

Resposta

y^2+y = x^2-4

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