Resolva as equações de Bernoulli
3 t y^{\prime}-2 y=\frac{t^{3}}{y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada:
3 t y^{\prime}-2 y=\frac{t^{3}}{y^{2}}.
Informações importantes que temos:
  • A incógnita é a função y=y(t).
  • A derivada é y^{\prime}=\dfrac{dy}{dt}.
  • Há termos com t no denominador quando rearranjarmos, então vamos admitir t\neq 0 (o caso t=0 não faz sentido na equação original porque aparece t multiplicando y' e dividindo em outros passos).
  • A tarefa é encontrar a solução geral y(t) (com constante de integração).

Passo 2

Vamos colocar a equação numa forma mais conveniente. Primeiro dividimos por t (lembrando t\neq 0):
3 y^{\prime}-\frac{2}{t}y=\frac{t^{2}}{y^{2}}.
Agora dividimos por 3 para obter a forma
y^{\prime}-\frac{2}{3t}y=\frac{t^{2}}{3}\,y^{-2}.
Observa que esta equação tem a forma
y^{\prime}+P(t)y=Q(t) y^{n}
com
P(t)=-\frac{2}{3t},\qquad Q(t)=\frac{t^{2}}{3},\qquad n=-2.
Há uma técnica padrão para equações desse tipo: fazemos a substituição
u=y^{\,1-n},
porque isso transforma a equação não linear numa equação linear para u. Antes de aplicar, explico o porquê dessa substituição: se u=y^{1-n} então, pela regra da cadeia,
u^{\prime}=(1-n)\,y^{-n}\,y^{\prime}.
Essa relação permite eliminar o termo y^{\prime} multiplicado por y^{-n} e obter uma equação linear em u.

Passo 3

No nosso caso temos n=-2, então
1-n = 1-(-2)=3,
e escolhemos
u=y^{3}.
Calculemos u^{\prime}:
u^{\prime}=3y^{2}y^{\prime}.
Agora voltamos à forma obtida em Passo 2,
y^{\prime}-\frac{2}{3t}y=\frac{t^{2}}{3}\,y^{-2},
e multiplicamos ambos os lados por 3y^{2} (isso é legal porque y\neq 0 também, caso contrário o termo \dfrac{t^{3}}{y^{2}} da equação original seria indefinido):
3y^{2}y^{\prime}-2\frac{y^{3}}{t}=t^{2}.
Agora substituímos 3y^{2}y^{\prime}=u^{\prime} e y^{3}=u. Assim obtemos uma equação linear para u:
u^{\prime}-\frac{2}{t}u=t^{2}.

Passo 4

Vamos resolver a equação linear
u^{\prime}-\frac{2}{t}u=t^{2}.
O fator integrante \mu(t) é dado por
\mu(t)=\exp\!\left(\int -\frac{2}{t}\,dt\right)=\exp(-2\ln|t|)=t^{-2}.
Multiplicando a equação por \mu(t)=t^{-2} obtemos
t^{-2}u^{\prime}-2t^{-3}u=1.
O lado esquerdo é a derivada do produto t^{-2}u, porque
\frac{d}{dt}\bigl(t^{-2}u\bigr)=t^{-2}u^{\prime}-2t^{-3}u.
Portanto
\frac{d}{dt}\bigl(t^{-2}u\bigr)=1.
Integramos em t:
t^{-2}u=\int 1\,dt = t + C,
onde C é a constante de integração. Multiplicando por t^{2} obtemos
u=t^{3}+C t^{2}.

Passo 5

Voltamos à variável original: como definimos u=y^{3}, temos
y^{3}=t^{3}+C t^{2}.
Podemos factorar t^{2}:
y^{3}=t^{2}(t+C).
Tomando a raiz cúbica dos dois lados (a raiz cúbica é bem definida para números reais, podendo ser negativa também), obtemos a solução geral
y(t)=\bigl(t^{2}(t+C)\bigr)^{1/3}.
Também podemos escrever de forma equivalente
y(t)=t^{2/3}(t+C)^{1/3}.
Lembre-se das restrições: t\neq 0 (usada durante o processo) e C é uma constante real arbitrária.

Resposta

y(t)=\bigl(t^{2}(t+C)\bigr)^{1/3},\quad C\in\mathbb{R}

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