Resolva as equações de Bernoulli
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada:
Informações importantes que temos:
- A incógnita é a função
. - A derivada é
. - Há termos com
no denominador quando rearranjarmos, então vamos admitir (o caso não faz sentido na equação original porque aparece multiplicando e dividindo em outros passos). - A tarefa é encontrar a solução geral
(com constante de integração).
Passo 2
Vamos colocar a equação numa forma mais conveniente. Primeiro dividimos por
(lembrando
):
Agora dividimos por
para obter a forma
Observa que esta equação tem a forma
com
Há uma técnica padrão para equações desse tipo: fazemos a substituição
porque isso transforma a equação não linear numa equação linear para
. Antes de aplicar, explico o porquê dessa substituição: se
então, pela regra da cadeia,
Essa relação permite eliminar o termo
multiplicado por
e obter uma equação linear em
.
Passo 3
No nosso caso temos
, então
e escolhemos
Calculemos
:
Agora voltamos à forma obtida em Passo 2,
e multiplicamos ambos os lados por
(isso é legal porque
também, caso contrário o termo
da equação original seria indefinido):
Agora substituímos
e
. Assim obtemos uma equação linear para
:
Passo 4
Vamos resolver a equação linear
O fator integrante
é dado por
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
, porque
Portanto
Integramos em
:
onde
é a constante de integração. Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Voltamos à variável original: como definimos
, temos
Podemos factorar
:
Tomando a raiz cúbica dos dois lados (a raiz cúbica é bem definida para números reais, podendo ser negativa também), obtemos a solução geral
Também podemos escrever de forma equivalente
Lembre-se das restrições:
(usada durante o processo) e
é uma constante real arbitrária.