Resolva as integrais, mostrando a decomposição e a integração termo a termo.
\int \frac{x^{2}+4}{x\left(x^{2}+4\right)} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \frac{x^{2}+4}{x\left(x^{2}+4\right)}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O integrando é \dfrac{x^{2}+4}{x\left(x^{2}+4\right)}.
  • O denominador fatoriza como x e x^{2}+4, isto é, os fatores são x (linear) e x^{2}+4 (quadrático irreduzível sobre os reais).
  • Deve-se mostrar a decomposição em frações parciais e integrar termo a termo.
  • Atenção ao ponto x=0: a função não está definida em x=0, então consideramos x\neq0.

Passo 2

Configurar a decomposição em frações parciais. Para um fator linear x usamos termo do tipo \dfrac{A}{x}. Para o fator quadrático irreduzível x^{2}+4 usamos termo do tipo \dfrac{Bx+C}{x^{2}+4}. Assim assumimos a identidade
\frac{x^{2}+4}{x\left(x^{2}+4\right)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4}.
Explico por que: o numerador de cada fração tem grau estritamente menor que o respectivo denominador — isso é a forma padrão para frações parciais.

Passo 3

Eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+4)\). Assim obtemos uma igualdade de polinômios: \[x^{2}+4 = A(x^{2}+4) + (Bx+C)x.
Agora expandimos o lado direito:
x^{2}+4 = A x^{2} + 4A + B x^{2} + C x.
Agrupando termos sem esquecer coeficientes:
x^{2}+4 = (A+B)x^{2} + C x + 4A.
Comparando coeficientes dos polinômios (coeficiente de x^{2}, de x e termo constante) obtemos o sistema:
\begin{cases} 1 = A+B &\text{(coeficiente de }x^{2}\text{)}\\[4pt] 0 = C &\text{(coeficiente de }x\text{)}\\[4pt] 4 = 4A &\text{(termo constante)} \end{cases}
Resolvendo:
  • Da terceira equação 4=4A\] obtemos \(A=1.
  • Da primeira 1=A+B segue B=1-A=1-1=0.
  • Da segunda C=0.]

Passo 4

Com os valores encontrados A=1, B=0, C=0, a decomposição fica
\frac{x^{2}+4}{x\left(x^{2}+4\right)}=\frac{1}{x}+\frac{0\cdot x+0}{x^{2}+4}=\frac{1}{x}.
Comentário pedagógico: aqui a simplificação óbvia x^{2}+4 cancelando com o mesmo fator no numerador nos dá diretamente \dfrac{1}{x}, e a decomposição em frações parciais confirma isso de forma sistemática. Em problemas mais complicados os termos sobre o quadrado irreduzível não seriam todos zero.

Passo 5

Integrar termo a termo. Se tivéssemos termos do tipo \dfrac{Bx}{x^{2}+a^{2}} ou \dfrac{C}{x^{2}+a^{2}} usaríamos as integrais padrão:
\int \frac{x}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+a^{2}\right)+\text{const},
obtida por substituição u=x^{2}+a^{2}, e
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+\text{const}.
No nosso caso, porém, o integrando reduz-se a \dfrac{1}{x}. A fórmula para essa integral é
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+\text{const}.
Explico rapidamente: a derivada de \ln|x| é 1/x para x\neq0, portanto integrais coincidem.

Passo 6

Aplicando a integração ao nosso integrando simplificado, obtemos
\int \frac{x^{2}+4}{x\left(x^{2}+4\right)}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração. Lembre-se: domínio x\neq0.

Resposta

\ln|x|+C

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