Resolva as integrais, mostrando a decomposição e a integração termo a termo. \int \frac{x^{2}+4}{x\left(x^{2}+4\right)} d x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \frac{x^{2}+4}{x\left(x^{2}+4\right)}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
O integrando é \dfrac{x^{2}+4}{x\left(x^{2}+4\right)}.
O denominador fatoriza como x e x^{2}+4, isto é, os fatores são x (linear) e x^{2}+4 (quadrático irreduzível sobre os reais).
Deve-se mostrar a decomposição em frações parciais e integrar termo a termo.
Atenção ao ponto x=0: a função não está definida em x=0, então consideramos x\neq0.
Passo 2
Configurar a decomposição em frações parciais. Para um fator linear x usamos termo do tipo \dfrac{A}{x}. Para o fator quadrático irreduzível x^{2}+4 usamos termo do tipo \dfrac{Bx+C}{x^{2}+4}. Assim assumimos a identidade
Comentário pedagógico: aqui a simplificação óbvia x^{2}+4 cancelando com o mesmo fator no numerador nos dá diretamente \dfrac{1}{x}, e a decomposição em frações parciais confirma isso de forma sistemática. Em problemas mais complicados os termos sobre o quadrado irreduzível não seriam todos zero.
Passo 5
Integrar termo a termo. Se tivéssemos termos do tipo \dfrac{Bx}{x^{2}+a^{2}} ou \dfrac{C}{x^{2}+a^{2}} usaríamos as integrais padrão: