Em cada um dos seguintes problemas, verifique que cada função dada é solução da equação diferencial.
y^{\prime \prime}-y=0 ; \quad y_{1}(t)=e^{t}, \quad y_{2}(t)=7 e^{t}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as funções dadas são soluções da equação diferencial
y''-y=0.
As informações fornecidas são:
y_1(t)=e^{t},\qquad y_2(t)=7e^{t}.
A tarefa é mostrar, para cada função, que ao substituí‑la na equação diferencial a igualdade é satisfeita para todo t.

Passo 2

O que significa “verificar que uma função é solução”? Significa calcular as derivadas necessárias da função, substituir na expressão da equação diferencial e checar se o lado esquerdo fica igual a zero (pois a equação é y''-y=0). Vou mostrar passo a passo como fazer isso. Lembre que a derivada da exponencial tem uma propriedade muito útil: para f(t)=e^{t} vale
f'(t)=e^{t}\quad\text{e}\quad f''(t)=e^{t}.
Isso decorre da regra básica de derivação da função exponencial.

Passo 3

Verificação para \;y_1(t)=e^{t}.
Calcule a primeira derivada:
y_1'(t)=\frac{d}{dt}\big(e^{t}\big)=e^{t}.
Calcule a segunda derivada:
y_1''(t)=\frac{d}{dt}\big(y_1'(t)\big)=\frac{d}{dt}\big(e^{t}\big)=e^{t}.
Substitua na equação diferencial \;y''-y=0:
y_1''(t)-y_1(t)=e^{t}-e^{t}=0.
Como a expressão dá zero para todo t, concluímos que \;y_1(t)=e^{t} é solução da equação diferencial.

Passo 4

Uma observação teórica útil (explicando por que múltiplos escalares funcionam): a equação é linear e homogênea; podemos definir o operador linear
L[y]=y''-y.
Linearidade significa que para qualquer constante c e função y válida vale
L[c\,y]=c\,L[y].
Assim, se y satisfaz L[y]=0, então c\,y também satisfaz L[c\,y]=c\cdot 0=0. Isso explica rapidamente por que, se e^{t} é solução, então 7e^{t} também é.

Passo 5

Verificação direta para \;y_2(t)=7e^{t} (faço também o cálculo explícito, seguindo a preferência por passos detalhados).
Calcule a primeira derivada:
y_2'(t)=\frac{d}{dt}\big(7e^{t}\big)=7e^{t},
pois a constante 7 sai da derivada.
Calcule a segunda derivada:
y_2''(t)=\frac{d}{dt}\big(y_2'(t)\big)=\frac{d}{dt}\big(7e^{t}\big)=7e^{t}.
Substitua na equação diferencial:
y_2''(t)-y_2(t)=7e^{t}-7e^{t}=0.
Portanto \;y_2(t)=7e^{t} também satisfaz a equação diferencial.

Passo 6

Resumo do raciocínio e dica para prova: a verificação de que uma função é solução de uma equação diferencial linear de ordem finita consiste em calcular as derivadas exigidas e substituí‑las na equação. Para funções exponenciais do tipo \;C e^{t} a verificação é muito rápida porque a derivada mantém a mesma forma, multiplicada pela constante C. Além disso, a propriedade de linearidade do operador diferencial permite concluir imediatamente que qualquer múltiplo escalar de uma solução também é solução.

Resposta

\;y_1(t)=e^{t} é solução da equação diferencial \;y''-y=0.
\;y_2(t)=7e^{t} é solução da equação diferencial \;y''-y=0.

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