Em cada um dos seguintes problemas, verifique que cada função dada é solução da equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que as funções dadas são soluções da equação diferencial
As informações fornecidas são:
A tarefa é mostrar, para cada função, que ao substituí‑la na equação diferencial a igualdade é satisfeita para todo
.
Passo 2
O que significa “verificar que uma função é solução”? Significa calcular as derivadas necessárias da função, substituir na expressão da equação diferencial e checar se o lado esquerdo fica igual a zero (pois a equação é
). Vou mostrar passo a passo como fazer isso. Lembre que a derivada da exponencial tem uma propriedade muito útil: para
vale
Isso decorre da regra básica de derivação da função exponencial.
Passo 3
Verificação para
.
Calcule a primeira derivada:
Calcule a segunda derivada:
Substitua na equação diferencial
:
Como a expressão dá zero para todo
, concluímos que
é solução da equação diferencial.
Passo 4
Uma observação teórica útil (explicando por que múltiplos escalares funcionam): a equação é linear e homogênea; podemos definir o operador linear
Linearidade significa que para qualquer constante
e função
válida vale
Assim, se
satisfaz
, então
também satisfaz
. Isso explica rapidamente por que, se
é solução, então
também é.
Passo 5
Verificação direta para
(faço também o cálculo explícito, seguindo a preferência por passos detalhados).
Calcule a primeira derivada:
pois a constante
sai da derivada.
Calcule a segunda derivada:
Substitua na equação diferencial:
Portanto
também satisfaz a equação diferencial.
Passo 6
Resumo do raciocínio e dica para prova: a verificação de que uma função é solução de uma equação diferencial linear de ordem finita consiste em calcular as derivadas exigidas e substituí‑las na equação. Para funções exponenciais do tipo
a verificação é muito rápida porque a derivada mantém a mesma forma, multiplicada pela constante
. Além disso, a propriedade de linearidade do operador diferencial permite concluir imediatamente que qualquer múltiplo escalar de uma solução também é solução.