Para cada uma das seguintes sequências definidas recursivamente, encontre uma fórmula explícita para a sequência.
a_{1}=\left(\frac{1}{2}\right), \quad a_{n}=a_{n-1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n} para n \geq 2

Passo 1

O enunciado dá uma sequência definida recursivamente e pede uma fórmula explícita. Dados:
  • a_{1}=\left(\tfrac{1}{2}\right).
  • Para n\ge 2, a_{n}=a_{n-1}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}.
O que é pedido:
  • Encontrar uma fórmula explícita para a_{n} em função de n, isto é, escrever a_{n}= (alguma expressão envolvendo somente n).

Passo 2

Vamos entender o que a recorrência faz calculando os primeiros termos (isso nos ajuda a conjecturar a fórmula):
  • a_{1}=\left(\tfrac{1}{2}\right).
  • a_{2}=a_{1}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
  • a_{3}=a_{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{7}{8}.
  • a_{4}=a_{3}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}=\tfrac{7}{8}+\tfrac{1}{16}=\tfrac{15}{16}.
Observando os números \tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4},\tfrac{7}{8},\tfrac{15}{16}, dá para perceber o padrão: cada termo parece ser 1 menos uma potência de \tfrac{1}{2}. Isso sugere a conjectura
a_{n}=1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}.

Passo 3

Agora vamos justificar rigorosamente essa expressão. Primeiro reescrevemos a_{n} como soma dos incrementos dados pela recorrência. Como a_{1}=(\tfrac{1}{2}) e cada passo adiciona \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k} para k\ge2, temos, para todo n\ge1,
a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}.
Isto é, a_{n} é a soma dos primeiros n termos da progressão geométrica com razão r=\tfrac{1}{2} e primeiro termo \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Vamos recordar e provar a fórmula geral para a soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica. Se r\neq 1 e
S_n = 1 + r + r^{2} + \cdots + r^{n-1},
multiplicando por r obtemos
rS_n = r + r^{2} + \cdots + r^{n}.
Subtraindo as duas expressões segue
S_n - rS_n = 1 - r^{n},
isto é,
S_n(1-r)=1-r^{n}.
Logo
S_n=\frac{1-r^{n}}{1-r}.
Essa é a ferramenta chave para somar potências geométricas de forma algébrica (sem calculadora).

Passo 5

Adaptamos a fórmula ao nosso caso. Queremos \sum_{k=1}^{n} r^{k}. Note que
\sum_{k=1}^{n} r^{k} = r\sum_{k=0}^{n-1} r^{k} = r\cdot\frac{1-r^{n}}{1-r},
usando a fórmula de S_n com S_n=\sum_{k=0}^{n-1} r^{k}.
No nosso problema, r=\tfrac{1}{2}. Portanto
a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k} = \left(\tfrac{1}{2}\right)\cdot\frac{1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}}{1-\tfrac{1}{2}}.

Passo 6

Simplificamos a expressão obtida em \, \left(\tfrac{1}{2}\right)\cdot\frac{1-(\tfrac{1}{2})^{n}}{1-\tfrac{1}{2}} \,.
Calcule o denominador:
1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Então
a_{n}=\left(\tfrac{1}{2}\right)\cdot\frac{1-(\tfrac{1}{2})^{n}}{\tfrac{1}{2}}.
Ao cancelar \tfrac{1}{2} no numerador com o denominador obtemos
a_{n}=1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}.

Passo 7

Para ficar totalmente seguro, fazemos uma verificação por indução (é um truque clássico para confirmar fórmulas de sequência):
  • Base n=1: a fórmula dá 1-(\tfrac{1}{2})^{1}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}, que coincide com a_{1}.
  • Passo indutivo: suponha que a_{n}=1-(\tfrac{1}{2})^{n} para algum n\ge1. Então, pela recorrência,
a_{n+1}=a_{n}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1} = \left(1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}\right)+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}.
Agrupando os termos de potência:
-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1} = -\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}\left(1-\tfrac{1}{2}\right) = -\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}.
Portanto a_{n+1}=1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}. Assim a fórmula vale para n+1. Pela indução, vale para todo n\ge1.

Resposta

a_{n}=1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}

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