Para cada uma das seguintes sequências definidas recursivamente, encontre uma fórmula explícita para a sequência.
para
Passo 1
O enunciado dá uma sequência definida recursivamente e pede uma fórmula explícita. Dados:
-
. - Para
, .
O que é pedido:
- Encontrar uma fórmula explícita para
em função de , isto é, escrever (alguma expressão envolvendo somente ).
Passo 2
Vamos entender o que a recorrência faz calculando os primeiros termos (isso nos ajuda a conjecturar a fórmula):
-
. -
. -
. -
.
Observando os números
, dá para perceber o padrão: cada termo parece ser
menos uma potência de
. Isso sugere a conjectura
Passo 3
Agora vamos justificar rigorosamente essa expressão. Primeiro reescrevemos
como soma dos incrementos dados pela recorrência. Como
e cada passo adiciona
para
, temos, para todo
,
Isto é,
é a soma dos primeiros
termos da progressão geométrica com razão
e primeiro termo
.
Passo 4
Vamos recordar e provar a fórmula geral para a soma dos primeiros
termos de uma progressão geométrica. Se
e
multiplicando por
obtemos
Subtraindo as duas expressões segue
isto é,
Logo
Essa é a ferramenta chave para somar potências geométricas de forma algébrica (sem calculadora).
Passo 5
Adaptamos a fórmula ao nosso caso. Queremos
. Note que
usando a fórmula de
com
.
No nosso problema,
. Portanto
Passo 6
Simplificamos a expressão obtida em
.
Calcule o denominador:
Calcule o denominador:
Então
Ao cancelar
no numerador com o denominador obtemos
Passo 7
Para ficar totalmente seguro, fazemos uma verificação por indução (é um truque clássico para confirmar fórmulas de sequência):
- Base
: a fórmula dá , que coincide com . - Passo indutivo: suponha que
para algum . Então, pela recorrência,
Agrupando os termos de potência:
Portanto
. Assim a fórmula vale para
. Pela indução, vale para todo
.