Calcule os seguintes limites, se existirem, das seguintes sequências:
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede calcular o limite
, se ele existir. Informações relevantes:
- A soma tem
termos, o -ésimo termo (para ) é . - Precisamos obter uma expressão fechada para
que permita tomar o limite quando .
Passo 2
Reescrevemos a soma com um índice mais conveniente. Para
o termo é
. Faço a mudança
. Então
varia de
até
e
Essa forma é útil porque o termo
é um candidato clássico para decomposição em frações parciais e telescopamento.
Passo 3
Faço a decomposição em frações parciais do termo geral. Procuro constantes
e
tais que
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes resulta o sistema
e
. Daí
e
. Portanto, para todo
,
Passo 4
Substituo a decomposição na soma e observo o telescopamento:
Escrevendo os primeiros e últimos termos da soma:
Os termos intermediários cancelam em pares:
cancela com
,
com
, e assim por diante.
Passo 5
Após o cancelamento resta apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo:
Verificação rápida (caso teste): para
temos
e a fórmula dá
, consistente.
Passo 6
Agora calculo o limite quando
. Observo que
quando
. Então
Passo 7
Conclusão final e observação prática para a prova: sempre que encontrar somas do tipo
ou
, tente fazer frações parciais — frequentemente isso leva a um telescopamento que deixa a soma muito simples de avaliar e permite tirar o limite sem calculadora. Força aí, você consegue!