Calcule os seguintes limites, se existirem, das seguintes sequências:
u_{n}=\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{(n+1)(n+2)}.

Passo 1

O enunciado define a sequência
u_{n}=\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{(n+1)(n+2)}
e pede calcular o limite \lim_{n\to\infty}u_{n}, se ele existir. Informações relevantes:
  • A soma tem n termos, o k-ésimo termo (para k=1,\dots,n) é \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}.
  • Precisamos obter uma expressão fechada para u_n que permita tomar o limite quando n\to\infty.

Passo 2

Reescrevemos a soma com um índice mais conveniente. Para k=1,\dots,n o termo é \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}. Faço a mudança m=k+1. Então m varia de 2 até n+1 e
u_n=\sum_{m=2}^{n+1}\frac{1}{m(m+1)}.
Essa forma é útil porque o termo \dfrac{1}{m(m+1)} é um candidato clássico para decomposição em frações parciais e telescopamento.

Passo 3

Faço a decomposição em frações parciais do termo geral. Procuro constantes A e B tais que
\frac{1}{m(m+1)}=\frac{A}{m}+\frac{B}{m+1}.
Multiplicando por m(m+1) obtemos
1 = A(m+1)+B m = (A+B)m + A.
Comparando coeficientes resulta o sistema A+B=0 e A=1. Daí A=1 e B=-1. Portanto, para todo m\ge2,
\frac{1}{m(m+1)}=\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}.

Passo 4

Substituo a decomposição na soma e observo o telescopamento:
u_n=\sum_{m=2}^{n+1}\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}\right).
Escrevendo os primeiros e últimos termos da soma:
u_n=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right).
Os termos intermediários cancelam em pares: -\frac{1}{3} cancela com +\frac{1}{3}, -\frac{1}{4} com +\frac{1}{4}, e assim por diante.

Passo 5

Após o cancelamento resta apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo:
u_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}.
Verificação rápida (caso teste): para n=1 temos u_1=\dfrac{1}{2\cdot3}=\dfrac{1}{6} e a fórmula dá \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}, consistente.

Passo 6

Agora calculo o limite quando n\to\infty. Observo que \dfrac{1}{n+2}\to 0 quando n\to\infty. Então
\lim_{n\to\infty} u_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}.

Passo 7

Conclusão final e observação prática para a prova: sempre que encontrar somas do tipo \dfrac{1}{m(m+1)} ou \dfrac{1}{(m+a)(m+b)}, tente fazer frações parciais — frequentemente isso leva a um telescopamento que deixa a soma muito simples de avaliar e permite tirar o limite sem calculadora. Força aí, você consegue!

Resposta

\dfrac{1}{2}

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