Para cada uma das seguintes sequências definidas recursivamente, encontre uma fórmula explícita para a sequência.
para
Passo 1
O enunciado dá uma sequência definida recursivamente e pede uma fórmula explícita para o termo geral. Dados fornecidos:
-
. - Para
, vale .
O que se pede: encontrar uma expressão explícita para
em função de
(sem depender de termos anteriores).
Passo 2
Vamos calcular os primeiros termos para perceber um padrão (isso ajuda muito em prova):
-
. -
. -
. -
.
Observação simples: a cada passo multiplica-se o termo anterior por
. Então os valores vão sendo
— é uma sequência que cresce em valor absoluto por fator
a cada termo e alterna o sinal.
Passo 3
Agora generalizamos: suponha que numa sequência qualquer se tem uma relação do tipo
para todo
, com
conhecido. Ao expandir repetidas vezes:
e assim por diante. A observação sugere a fórmula geral
Aqui
é a razão (o fator de multiplicação entre termos consecutivos) e
é o primeiro termo. Essa é a fórmula da progressão geométrica (PG) com primeiro termo
e razão
.
Passo 4
Para ter certeza rigorosa, fazemos uma prova por indução da fórmula
no caso genérico
.
Base (
):
, OK.
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
. Então
que é a fórmula para
. Assim, por indução, a fórmula vale para todo
.
Passo 5
Voltemos ao problema concreto: aqui a razão é
(pois multiplicamos por
a cada passo) e
. Como checamos nos primeiros termos, o sinal alterna e o módulo cresce como potência de
. Para conferir com exemplos já calculados:
- com
a fórmula genérica dá , que coincide com o cálculo direto; - com
dá , também coincide.