Para cada uma das seguintes sequências definidas recursivamente, encontre uma fórmula explícita para a sequência.
a_{1}=2, \quad a_{n}=-3 a_{n-1} para n \geq 2

Passo 1

O enunciado dá uma sequência definida recursivamente e pede uma fórmula explícita para o termo geral. Dados fornecidos:
  • a_{1}=2.
  • Para n\ge 2, vale a_{n}=-3\,a_{n-1}.
O que se pede: encontrar uma expressão explícita para a_{n} em função de n (sem depender de termos anteriores).

Passo 2

Vamos calcular os primeiros termos para perceber um padrão (isso ajuda muito em prova):
  • a_{1}=2.
  • a_{2}=-3\,a_{1}=-3\cdot2=-6.
  • a_{3}=-3\,a_{2}=-3\cdot(-6)=18.
  • a_{4}=-3\,a_{3}=-3\cdot18=-54.
Observação simples: a cada passo multiplica-se o termo anterior por -3. Então os valores vão sendo 2,\,-6,\,18,\,-54,\ldots — é uma sequência que cresce em valor absoluto por fator 3 a cada termo e alterna o sinal.

Passo 3

Agora generalizamos: suponha que numa sequência qualquer se tem uma relação do tipo a_{n}=r\,a_{n-1} para todo n\ge2, com a_{1} conhecido. Ao expandir repetidas vezes:
a_{2}=r\,a_{1}, \qquad a_{3}=r\,a_{2}=r(r\,a_{1})=r^{2}a_{1}, \qquad a_{4}=r\,a_{3}=r^{3}a_{1},
e assim por diante. A observação sugere a fórmula geral
a_{n}=a_{1}\,r^{\,n-1}\quad\text{para }n\ge1.
Aqui r é a razão (o fator de multiplicação entre termos consecutivos) e a_{1} é o primeiro termo. Essa é a fórmula da progressão geométrica (PG) com primeiro termo a_{1} e razão r.

Passo 4

Para ter certeza rigorosa, fazemos uma prova por indução da fórmula \,a_{n}=a_{1}r^{\,n-1}\, no caso genérico a_{n}=r\,a_{n-1}.
Base ( n=1): \,a_{1}=a_{1}r^{\,0}=a_{1}, OK.
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 valha a_{k}=a_{1}r^{\,k-1}. Então
a_{k+1}=r\,a_{k}=r\bigl(a_{1}r^{\,k-1}\bigr)=a_{1}r^{\,k},
que é a fórmula para n=k+1. Assim, por indução, a fórmula vale para todo n\ge1.

Passo 5

Voltemos ao problema concreto: aqui a razão é r=-3 (pois multiplicamos por -3 a cada passo) e a_{1}=2. Como checamos nos primeiros termos, o sinal alterna e o módulo cresce como potência de 3. Para conferir com exemplos já calculados:
  • com n=2 a fórmula genérica dá a_{2}=a_{1}r^{1}=2\cdot(-3)= -6, que coincide com o cálculo direto;
  • com n=3 a_{3}=2\cdot(-3)^{2}=18, também coincide.

Resposta

a_{n}=2(-3)^{\,n-1}

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