Para cada das seguintes séries, decida se ela é convergente ou divergente, e explicite qual teste pode ser usado para confirmar este fato.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{7 n} \quad Escolher…

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{7 n}
é convergente ou divergente, e indicar qual teste justifica essa conclusão. A informação que temos é o termo geral
a_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{7 n}.
O objetivo imediato é estudar o comportamento de a_n quando n\to\infty, porque isso já indica um teste natural a ser usado.

Passo 2

Vamos reescrever a_n de forma a facilitar o cálculo do limite. Note que
\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\tfrac{1}{n}},
portanto
a_n=\left(\frac{1}{1+\tfrac{1}{n}}\right)^{7n}=\left((1+\tfrac{1}{n})^{n}\right)^{-7}.
Essa forma mostra que o comportamento de a_n está ligado ao comportamento da sequência (1+\tfrac{1}{n})^{n} quando n\to\infty.

Passo 3

Recorde (ou vamos justificar rapidamente) o limite clássico
\lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^{n}=e,
onde e é a base dos logaritmos naturais. Uma maneira simples de ver isso é olhar para o logaritmo:
\ln\!\left((1+\tfrac{1}{n})^{n}\right)=n\ln\!\left(1+\tfrac{1}{n}\right).
Para pequenas x vale a aproximação \ln(1+x)=x+o(x) quando x\to0. Tomando x=\tfrac{1}{n} obtemos
\ln\!\left(1+\tfrac{1}{n}\right)=\tfrac{1}{n}+o\!\left(\tfrac{1}{n}\right).
Multiplicando por n
n\ln\!\left(1+\tfrac{1}{n}\right)=1+o(1)\xrightarrow[n\to\infty]{}1.
Assim o logaritmo da sequência tende a 1, logo a própria sequência tende a e^{1}=e. Isso justifica o limite clássico acima.

Passo 4

Usando o resultado do passo anterior na expressão de a_n, temos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\left((1+\tfrac{1}{n})^{n}\right)^{-7} = e^{-7}.
Observe que e^{-7} é um número positivo diferente de zero (aproximadamente e^{-7}\approx0,00091).

Passo 5

Agora aplicamos o teste da n-ésima parcela (também chamado teste da divergência): se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, então a série \sum a_n diverge. Como aqui encontramos
\lim_{n\to\infty} a_n = e^{-7}\neq0,
seguimos que a série diverge. Esse teste é o mais direto e suficiente — não é necessário aplicar razão, raiz ou comparação, porque o termo geral não tende a zero.

Resposta

Divergente — pelo teste da n-ésima parcela, pois \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{7 n}=e^{-7}\neq0.

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