Suponha que uma partícula se move através do campo de força
do ponto ( 0,0 ) para o ponto ( 1,0 ) ao longo da curva
. Para qual valor de
trabalho realizado pelo campo de força será igual a 1 ?
Passo 1
O enunciado dá o campo de força
e a curva paramétrica
que vai do ponto
até
. A curva corresponde a
variando de
a
.
O que é pedido: encontrar o valor de
tal que o trabalho realizado pelo campo ao longo dessa curva seja igual a
.
Informações relevantes fornecidas:
- Campo:
- Curva:
com - Posição inicial:
corresponde a - Posição final:
corresponde a - Objetivo: determinar
tal que o trabalho
Passo 2
Escolha do método e fórmula que vamos usar (sem pular etapas): o trabalho realizado por um campo de força ao longo de uma curva é dado pela integral de linha do campo ao longo da trajetória. Se a curva for dada por
então o trabalho é
Aqui:
-
é o campo avaliado ao longo da curva; -
é o vetor velocidade da partícula; - o produto escalar
dá a potência instantânea que será integrada no tempo (ou no parâmetro).
Vamos aplicar essa fórmula com
e
.
Passo 3
Escrever
e calcular
.
Temos
Derivando componente a componente,
Logo
Passo 4
Avaliar o campo
ao longo da curva: substituir
e
.
Simplificando:
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Usando as componentes,
Então o integrando é
Passo 6
Expandir e simplificar o integrando passo a passo.
Primeiro escrevendo mais explicitamente:
pois
.
Agora expandir o segundo fator:
Multiplicando por
:
Juntando com o primeiro termo
, obtemos
Agora expandir tudo em potências de
.
Expandindo cada parte:
Somando os termos com mesmas potências:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: Calculemos: - Coeficiente de
:
Portanto
Também é útil fatorar
:
Passo 7
Integrar
de
a
para obter o trabalho
.
Calcular as integrais básicas:
Substituindo:
Agora somar os termos numéricos cuidadosamente. Calcule a soma entre colchetes:
Primeiro escrevendo cada parcela:
Somando constantes:
Somando os coeficientes de
:
(eles se cancelam.)
Assim o colchete vale
, independentemente de
. Portanto
Passo 8
Impor a condição do enunciado: queremos
. Logo
Multiplicando ambos os lados por
,
Interpretando: para
o trabalho ao longo da curva dada é exatamente
. Pode parecer surpreendente que a expressão integrada tenha simplificado tanto — é comum em problemas paramétricos partes em
se cancelarem — mas a conta mostrou claramente o resultado.