Suponha que uma partícula se move através do campo de força F(x, y)=x y \vec{i}+(x-y) \vec{j} do ponto ( 0,0 ) para o ponto ( 1,0 ) ao longo da curva x=t, y=\lambda t(1-t). Para qual valor de \lambda o trabalho realizado pelo campo de força será igual a 1 ?

Passo 1

O enunciado dá o campo de força \,F(x,y)=x y\,\vec{i}+(x-y)\,\vec{j}\, e a curva paramétrica \,x=t,\;y=\lambda t(1-t)\, que vai do ponto (0,0) até (1,0). A curva corresponde a t variando de 0 a 1.
O que é pedido: encontrar o valor de \lambda tal que o trabalho realizado pelo campo ao longo dessa curva seja igual a 1.
Informações relevantes fornecidas:
  • Campo: \,F(x,y)=x y\,\vec{i}+(x-y)\,\vec{j}.
  • Curva: \,x(t)=t,\;y(t)=\lambda t(1-t), com t\in[0,1].
  • Posição inicial: (0,0) corresponde a t=0.
  • Posição final: (1,0) corresponde a t=1.
  • Objetivo: determinar \lambda tal que o trabalho W=1.

Passo 2

Escolha do método e fórmula que vamos usar (sem pular etapas): o trabalho realizado por um campo de força ao longo de uma curva é dado pela integral de linha do campo ao longo da trajetória. Se a curva for dada por \,r(t)=(x(t),y(t)),\;t\in[a,b], então o trabalho é
W=\int_{C} F\cdot dr=\int_{a}^{b} F\big(x(t),y(t)\big)\cdot r'(t)\,dt.
Aqui:
  • F\big(x(t),y(t)\big) é o campo avaliado ao longo da curva;
  • r'(t)=(x'(t),y'(t)) é o vetor velocidade da partícula;
  • o produto escalar F\cdot r' dá a potência instantânea que será integrada no tempo (ou no parâmetro).
Vamos aplicar essa fórmula com a=0 e b=1.

Passo 3

Escrever r(t) e calcular r'(t).
Temos
r(t)=\big(x(t),y(t)\big)=\big(t,\;\lambda t(1-t)\big).
Derivando componente a componente,
x'(t)=1,\qquad y'(t)=\lambda(1-2t).
Logo
r'(t)=\big(1,\;\lambda(1-2t)\big).

Passo 4

Avaliar o campo F ao longo da curva: substituir x=t e y=\lambda t(1-t).
F\big(x(t),y(t)\big)=\big(t\cdot \lambda t(1-t),\;t-\lambda t(1-t)\big).
Simplificando:
F\big(x(t),y(t)\big)=\big(\lambda t^2(1-t),\;t-\lambda t(1-t)\big).

Passo 5

Calcular o produto escalar F\big(x(t),y(t)\big)\cdot r'(t). Usando as componentes,
F\cdot r'=\big(\lambda t^2(1-t)\big)\cdot 1+\big(t-\lambda t(1-t)\big)\cdot\lambda(1-2t).
Então o integrando é
I(t)=\lambda t^2(1-t)+\lambda\big(t-\lambda t(1-t)\big)(1-2t).

Passo 6

Expandir e simplificar o integrando passo a passo.
Primeiro escrevendo mais explicitamente:
I(t)=\lambda(t^2-t^3)+\lambda\big(t-\lambda t+\lambda t^2\big)(1-2t),
pois t-\lambda t(1-t)=t-\lambda t+\lambda t^2.
Agora expandir o segundo fator:
t-\lambda t+\lambda t^2 = t(1-\lambda)+\lambda t^2.
Multiplicando por \lambda(1-2t):
\lambda\big[t(1-\lambda)+\lambda t^2\big](1-2t) = \lambda t(1-\lambda)(1-2t) + \lambda^2 t^2(1-2t).
Juntando com o primeiro termo \lambda(t^2-t^3), obtemos
I(t)=\lambda(t^2-t^3)+\lambda t(1-\lambda)(1-2t)+\lambda^2 t^2(1-2t).
Agora expandir tudo em potências de t.
Expandindo cada parte:
  • \lambda(t^2-t^3)=\lambda t^2-\lambda t^3.
  • \lambda t(1-\lambda)(1-2t)=\lambda(1-\lambda)\big(t-2t^2\big)=\lambda(1-\lambda)t-2\lambda(1-\lambda)t^2.
  • \lambda^2 t^2(1-2t)=\lambda^2 t^2-2\lambda^2 t^3.
Somando os termos com mesmas potências:
  • Coeficiente de t: \lambda(1-\lambda).
  • Coeficiente de t^2: \lambda -2\lambda(1-\lambda)+\lambda^2. Calculemos: \lambda -2\lambda(1-\lambda)+\lambda^2=\lambda -2\lambda+2\lambda^2+\lambda^2=-\lambda+3\lambda^2.
  • Coeficiente de t^3: -\lambda -2\lambda^2.
Portanto
I(t)=\lambda(1-\lambda)\,t+\big(-\lambda+3\lambda^2\big)\,t^2+\big(-\lambda-2\lambda^2\big)\,t^3.
Também é útil fatorar \lambda:
I(t)=\lambda\Big((1-\lambda)t+(-1+3\lambda)t^2+(-1-2\lambda)t^3\Big).

Passo 7

Integrar I(t) de 0 a 1 para obter o trabalho W.
W=\int_{0}^{1} I(t)\,dt = \lambda\left[(1-\lambda)\int_{0}^{1}t\,dt+(-1+3\lambda)\int_{0}^{1}t^2\,dt+(-1-2\lambda)\int_{0}^{1}t^3\,dt\right].
Calcular as integrais básicas:
\int_{0}^{1}t\,dt=\tfrac{1}{2},\qquad \int_{0}^{1}t^2\,dt=\tfrac{1}{3},\qquad \int_{0}^{1}t^3\,dt=\tfrac{1}{4}.
Substituindo:
W=\lambda\left[(1-\lambda)\tfrac{1}{2}+(-1+3\lambda)\tfrac{1}{3}+(-1-2\lambda)\tfrac{1}{4}\right].
Agora somar os termos numéricos cuidadosamente. Calcule a soma entre colchetes:
Primeiro escrevendo cada parcela:
(1-\lambda)\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{\lambda}{2},
(-1+3\lambda)\tfrac{1}{3}=-\tfrac{1}{3}+\lambda,
(-1-2\lambda)\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{4}-\tfrac{\lambda}{2}.
Somando constantes: \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4}=\dfrac{6-4-3}{12}=-\dfrac{1}{12}.
Somando os coeficientes de \lambda: -\tfrac{1}{2}+1-\tfrac{1}{2}=0. (eles se cancelam.)
Assim o colchete vale -\dfrac{1}{12}, independentemente de \lambda. Portanto
W=\lambda\left(-\tfrac{1}{12}\right)=-\dfrac{\lambda}{12}.

Passo 8

Impor a condição do enunciado: queremos W=1. Logo
-\dfrac{\lambda}{12}=1.
Multiplicando ambos os lados por -12,
\lambda=-12.
Interpretando: para \lambda=-12 o trabalho ao longo da curva dada é exatamente 1. Pode parecer surpreendente que a expressão integrada tenha simplificado tanto — é comum em problemas paramétricos partes em \lambda se cancelarem — mas a conta mostrou claramente o resultado.

Resposta

-12

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