Calcule a integral de linha \oint_{C} \ln (1+y) d x-\frac{x y}{1+y} d y, onde C é o triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (0,4), orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha fechada
\oint_{C} \ln(1+y)\,dx-\frac{x y}{1+y}\,dy,
onde C é o triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (0,4), orientado no sentido anti-horário.
Informações relevantes dadas:
  • A forma diferencial é P\,dx+Q\,dy com P(x,y)=\ln(1+y),\qquad Q(x,y)=-\frac{x y}{1+y}.
  • A curva C é o contorno fechado do triângulo cujos vértices são (0,0), (2,0) e (0,4).
  • A orientação é anti-horária (sentido positivo usual).
O que se pede: calcular o valor numérico da integral de linha fechada acima.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e razão):
  • Para integrais de linha fechadas em que a curva é o contorno de uma região simples do plano, uma ferramenta muito útil é o Teorema de Green. Ele transforma a integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região interior, o que costuma simplificar bastante os cálculos quando as derivadas parciais são simples.
  • O Teorema de Green (forma habitual) diz: se P e Q têm derivadas parciais contínuas numa região que contém a região D limitada por C, e C é a fronteira orientada positivamente de D, então \oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
  • Aqui as condições serão verificadas (funções bem definidas e diferenciáveis no triângulo), então usar Green é natural e rápido.

Passo 3

Verificação das condições de aplicação de Green (explicação didática):
  • A função P(x,y)=\ln(1+y) está bem definida e é diferenciável em todo ponto com 1+y>0. No triângulo dado, y varia entre 0 e 4, logo 1+y\ge1>0. Então P é diferenciável na região.
  • A função Q(x,y)=-\dfrac{x y}{1+y} tem denominador 1+y que não se anula na região (novamente 1+y\ge1), e é uma combinação de polinômios e divisão por função não nula, logo tem derivadas parciais contínuas na região.
  • Portanto podemos aplicar o Teorema de Green.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais que entram no integrando de Green (explicação passo a passo):
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=-\dfrac{x y}{1+y}, para derivar em relação a x tratamos y como constante: \frac{\partial Q}{\partial x} = -\frac{y}{1+y}.(Explicação: a expressão é linear em x com coeficiente -\dfrac{y}{1+y}.)
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=\ln(1+y), \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1}{1+y}.(Explicação: derivada de \ln(u) em relação a u é 1/u, aqui u=1+y, e \dfrac{du}{dy}=1.)
  • Agora formar a diferença que aparece em Green: \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{y}{1+y}-\frac{1}{1+y} = -\frac{y+1}{1+y} = -1.(Aqui simplificamos o numerador y+1 com o denominador 1+y.)

Passo 5

Conversão da integral de linha para integral dupla e cálculo (passo a passo para fazer na prova sem calculadora):
  • Pelo Teorema de Green, \oint_{C} \ln(1+y)\,dx-\frac{x y}{1+y}\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA = \iint_{D} (-1)\,dA,onde D é o triângulo interior a C.
  • Portanto a integral vale -1 vezes a área de D: \iint_{D} (-1)\,dA = -\operatorname{area}(D).
  • Calcular a área do triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (0,4).
    Método geométrico rápido: base = 2 (segmento entre (0,0) e (2,0)), altura = 4 (distância vertical até (0,4)), assim \operatorname{area}(D)=\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}=\frac{1}{2}\times 2\times 4=4.
  • Portanto \oint_{C} \ln(1+y)\,dx-\frac{x y}{1+y}\,dy = -4.

Resposta

-4

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