Calcule a integral de linha
, onde
é o triângulo com vértices
,
e
, orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha fechada
onde
é o triângulo com vértices
,
e
, orientado no sentido anti-horário.
Informações relevantes dadas:
- A forma diferencial é
com - A curva
é o contorno fechado do triângulo cujos vértices são , e . - A orientação é anti-horária (sentido positivo usual).
O que se pede: calcular o valor numérico da integral de linha fechada acima.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e razão):
- Para integrais de linha fechadas em que a curva é o contorno de uma região simples do plano, uma ferramenta muito útil é o Teorema de Green. Ele transforma a integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região interior, o que costuma simplificar bastante os cálculos quando as derivadas parciais são simples.
- O Teorema de Green (forma habitual) diz: se
e têm derivadas parciais contínuas numa região que contém a região limitada por , e é a fronteira orientada positivamente de , então - Aqui as condições serão verificadas (funções bem definidas e diferenciáveis no triângulo), então usar Green é natural e rápido.
Passo 3
Verificação das condições de aplicação de Green (explicação didática):
- A função
está bem definida e é diferenciável em todo ponto com . No triângulo dado, varia entre e , logo . Então é diferenciável na região. - A função
tem denominador que não se anula na região (novamente ), e é uma combinação de polinômios e divisão por função não nula, logo tem derivadas parciais contínuas na região. - Portanto podemos aplicar o Teorema de Green.
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais que entram no integrando de Green (explicação passo a passo):
- Calcular
. Como , para derivar em relação a tratamos como constante: (Explicação: a expressão é linear em com coeficiente .) - Calcular
. Como , (Explicação: derivada de em relação a é , aqui , e .) - Agora formar a diferença que aparece em Green:
(Aqui simplificamos o numerador com o denominador .)
Passo 5
Conversão da integral de linha para integral dupla e cálculo (passo a passo para fazer na prova sem calculadora):
- Pelo Teorema de Green,
onde é o triângulo interior a . - Portanto a integral vale
vezes a área de : - Calcular a área do triângulo com vértices
, e .
Método geométrico rápido: base =(segmento entre e ), altura = (distância vertical até ), assim - Portanto