Considere sobre
a métrica dada por
. Mostre que não é aberto o seguinte subconjunto de
, onde
é um ponto fixo de
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço
das funções limitadas
com a métrica
Foi definido um ponto fixo
e o subconjunto
A tarefa pedida no enunciado é “mostrar que não é aberto” o conjunto
. Vou analisar o que as hipóteses nos dão e verificar se isso é verdadeiro.
Passo 2
Lembrando a definição de aberto em um espaço métrico: um subconjunto
é aberto se, para todo
, existe
tal que a bola aberta
está contida em
. Ou seja, precisamos verificar se para cada
existe
com
.
Vou usar uma propriedade imediata da métrica sup: se
então, para todo
, em particular para
,
Portanto o controle uniforme
implica controle pontual em
:
.
Passo 3
Pegue um
. Por definição
. Defina
Agora considere qualquer
tal que
. Pelo que vimos,
Isto implica
Logo
, isto é,
. Portanto toda função
com
pertence a
, ou seja,
Passo 4
Como
foi arbitrário, acabamos de mostrar que para todo
existe
(por exemplo
) tal que
. Essa é exatamente a condição para
ser aberto no espaço métrico
. Portanto
é aberto.
Observação intuitiva: a métrica sup impõe aproximação uniforme; se duas funções são suficientemente próximas uniformemente, elas são próximas em cada ponto, logo o sinal em
não muda por pequenas perturbações uniformes.