Considere sobre M=\mathcal{B}(X ; \mathbb{R}) a métrica dada por d(f, g)=\sup \{|f(x)-g(x)|: x \in X\}. Mostre que não é aberto o seguinte subconjunto de M ; G_{a}=\{f \in M ; \mid f(a)>0\}, onde a é um ponto fixo de X.

Passo 1

O enunciado dá o espaço M=\mathcal{B}(X;\mathbb{R}) das funções limitadas f:X\to\mathbb{R} com a métrica
d(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)|:\;x\in X\}.
Foi definido um ponto fixo a\in X e o subconjunto
G_{a}=\{\,f\in M : f(a)>0\,\}.
A tarefa pedida no enunciado é “mostrar que não é aberto” o conjunto G_a. Vou analisar o que as hipóteses nos dão e verificar se isso é verdadeiro.

Passo 2

Lembrando a definição de aberto em um espaço métrico: um subconjunto U\subset M é aberto se, para todo f\in U, existe \varepsilon>0 tal que a bola aberta
B(f,\varepsilon)=\{\,g\in M : d(f,g)<\varepsilon\,\}
está contida em U. Ou seja, precisamos verificar se para cada f\in G_a existe \varepsilon>0 com B(f,\varepsilon)\subset G_a.
Vou usar uma propriedade imediata da métrica sup: se d(f,g)<\varepsilon então, para todo x\in X, em particular para x=a,
|g(a)-f(a)|\le \sup_{x\in X}|g(x)-f(x)| = d(f,g) < \varepsilon.
Portanto o controle uniforme d(f,g)<\varepsilon implica controle pontual em a: |g(a)-f(a)|<\varepsilon.

Passo 3

Pegue um f\in G_a. Por definição f(a)>0. Defina
\varepsilon=\frac{f(a)}{2}>0.
Agora considere qualquer g\in M tal que d(f,g)<\varepsilon. Pelo que vimos,
|g(a)-f(a)|<\varepsilon=\frac{f(a)}{2}.
Isto implica
g(a)>f(a)-\frac{f(a)}{2}=\frac{f(a)}{2}>0.
Logo g(a)>0, isto é, g\in G_a. Portanto toda função g com d(f,g)<\varepsilon pertence a G_a, ou seja,
B\!\bigl(f,\tfrac{f(a)}{2}\bigr)\subset G_a.

Passo 4

Como f\in G_a foi arbitrário, acabamos de mostrar que para todo f\in G_a existe \varepsilon>0 (por exemplo \varepsilon=f(a)/2) tal que B(f,\varepsilon)\subset G_a. Essa é exatamente a condição para G_a ser aberto no espaço métrico (M,d). Portanto G_a é aberto.
Observação intuitiva: a métrica sup impõe aproximação uniforme; se duas funções são suficientemente próximas uniformemente, elas são próximas em cada ponto, logo o sinal em a não muda por pequenas perturbações uniformes.

Resposta

G_a é aberto.

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