Para cada uma das seguintes transformações lineares F , encontre uma base e a dimensão do seu núcleo
definida por
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O que se pede:
- Encontrar uma base do núcleo de
, ou seja, uma base de . - Determinar a dimensão do núcleo de
.
As informações relevantes que temos são exatamente a expressão de
(ambas as coordenadas da imagem são
) e o espaço de partida
.
Passo 2
Definição prática do núcleo:
. Logo precisamos resolver o sistema obtido ao pedir que a imagem seja o vetor nulo:
Isso gera as equações (uma em cada coordenada):
e a segunda coordenada traz exatamente a mesma equação
. Portanto o único requisito é
Passo 3
Resolver a equação
. Podemos isolar
:
Isso mostra que todo vetor no núcleo tem a forma
onde
é um parâmetro livre. Assim os vetores do núcleo são todos múltiplos escalares de
.
Para concluir que
é uma base do núcleo precisamos verificar duas coisas:
- O vetor
está no núcleo. De fato,
- O conjunto
gera todo o núcleo (já vimos que todo elemento é múltiplo de ) e é linearmente independente (um único vetor não-nulo é sempre independente).
Portanto
é uma base de
.
Passo 4
Dimensão: como a base do núcleo tem exatamente um vetor, a dimensão do núcleo é
.
Como checagem alternativa (útil na prova): a matriz de
na base padrão é
as duas linhas (ou colunas) são iguais, logo
. Pela relação posto-nulidade (rank-nullity) numa transformação de
tem-se
ou seja
, confirmado.]
Resposta
Base do núcleo:
Dimensão do núcleo:
Dimensão do núcleo: