Para cada uma das seguintes transformações lineares F , encontre uma base e a dimensão do seu núcleo
\mathrm{F}: \mathfrak{N}^{2} \rightarrow \mathfrak{N}^{2} definida por \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{x}+\mathrm{y})

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear F:\mathfrak{N}^{2}\to\mathfrak{N}^{2} definida por
F(x,y)=(x+y,\;x+y).
O que se pede:
  • Encontrar uma base do núcleo de F, ou seja, uma base de \ker(F)=\{(x,y)\in\mathfrak{N}^{2}\mid F(x,y)=(0,0)\}.
  • Determinar a dimensão do núcleo de F.
As informações relevantes que temos são exatamente a expressão de F (ambas as coordenadas da imagem são x+y) e o espaço de partida \mathfrak{N}^{2}.

Passo 2

Definição prática do núcleo: \ker(F)=\{(x,y)\in\mathfrak{N}^{2}\mid F(x,y)=(0,0)\}. Logo precisamos resolver o sistema obtido ao pedir que a imagem seja o vetor nulo:
F(x,y)=(x+y,\;x+y)=(0,0).
Isso gera as equações (uma em cada coordenada):
x+y=0,
e a segunda coordenada traz exatamente a mesma equação x+y=0. Portanto o único requisito é
x+y=0.

Passo 3

Resolver a equação x+y=0. Podemos isolar y:
y=-x.
Isso mostra que todo vetor no núcleo tem a forma
(x,y)=(x,-x)=x\,(1,-1),
onde x\in\mathfrak{N} é um parâmetro livre. Assim os vetores do núcleo são todos múltiplos escalares de (1,-1).
Para concluir que \{(1,-1)\} é uma base do núcleo precisamos verificar duas coisas:
  1. O vetor (1,-1) está no núcleo. De fato,
F(1,-1)=(1+(-1),\,1+(-1))=(0,0).
  1. O conjunto \{(1,-1)\} gera todo o núcleo (já vimos que todo elemento é múltiplo de (1,-1)) e é linearmente independente (um único vetor não-nulo é sempre independente).
Portanto \{(1,-1)\} é uma base de \ker(F).

Passo 4

Dimensão: como a base do núcleo tem exatamente um vetor, a dimensão do núcleo é 1.
Como checagem alternativa (útil na prova): a matriz de F na base padrão é
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},
as duas linhas (ou colunas) são iguais, logo \operatorname{rank}(A)=1. Pela relação posto-nulidade (rank-nullity) numa transformação de \mathfrak{N}^{2} tem-se
\dim(\ker(F)) + \operatorname{rank}(A) = 2,
ou seja \dim(\ker(F))=2-1=1, confirmado.]

Resposta

Base do núcleo: \{(1,-1)\}
Dimensão do núcleo: 1

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