Seja f a TL definida por \mathrm{f}(1,0)=(3,-2,1) e \mathrm{f}(0,1)=(4,0,2). Encontre \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) e [\mathrm{f}].

Passo 1

O enunciado dá duas imagens de vetores da base canônica de \mathbb{R}^2:
  • \mathrm{f}(1,0)=(3,-2,1).
  • \mathrm{f}(0,1)=(4,0,2).
O que precisa ser encontrado:
  1. A expressão de \mathrm{f}(x,y) para um vetor genérico (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  2. A matriz [\mathrm{f}] da transformação linear \mathrm{f} em relação às bases canônicas (matriz 3\times2).

Passo 2

Lembrete importante (definição e propriedade que vamos usar): uma transformação linear \mathrm{f}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 satisfaz, para quaisquer vetores u,v e escalar c,
\mathrm{f}(u+v)=\mathrm{f}(u)+\mathrm{f}(v),\qquad \mathrm{f}(c\,u)=c\,\mathrm{f}(u).
Qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação linear da base canônica:
(x,y)=x(1,0)+y(0,1).
Pela linearidade, então vale
\mathrm{f}(x,y)=\mathrm{f}\big(x(1,0)+y(0,1)\big)=x\,\mathrm{f}(1,0)+y\,\mathrm{f}(0,1).
Ou seja, basta multiplicar cada imagem dada pelo coeficiente correspondente e somar componente a componente.

Passo 3

Agora aplico a fórmula com as imagens fornecidas. Substituindo \mathrm{f}(1,0)=(3,-2,1) e \mathrm{f}(0,1)=(4,0,2),
\mathrm{f}(x,y)=x(3,-2,1)+y(4,0,2).
Faço a soma componente a componente:
  • Primeira componente: 3x+4y.
  • Segunda componente: -2x+0\cdot y=-2x.
  • Terceira componente: 1\cdot x+2y=x+2y.
Portanto,
\mathrm{f}(x,y)=(\,3x+4y\;,\;-2x\;,\;x+2y\,).

Passo 4

Agora construo a matriz [\mathrm{f}] relativa às bases canônicas. Regra: a j-ésima coluna da matriz é \mathrm{f} aplicada ao j-ésimo vetor da base canônica de \mathbb{R}^2. Aqui:
  • primeira coluna = \mathrm{f}(1,0)=(3,-2,1),
  • segunda coluna = \mathrm{f}(0,1)=(4,0,2).
Assim a matriz 3\times2 é
[\mathrm{f}]=\begin{pmatrix} 3 & 4\\[4pt] -2 & 0\\[4pt] 1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação rápida e interpretação prática:
  • Multiplicando a matriz por um vetor coluna \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} obtém-se exatamente \mathrm{f}(x,y):
\begin{pmatrix} 3 & 4\\[4pt] -2 & 0\\[4pt] 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3x+4y\\[4pt]-2x\\[4pt]x+2y\end{pmatrix}.
  • Exemplo numérico: para (x,y)=(2,-1),
\mathrm{f}(2,-1)=(3\cdot2+4\cdot(-1),\,-2\cdot2,\;2+2\cdot(-1))=(6-4,\,-4,\;0)=(2,-4,0).]

Resposta

\mathrm{f}(x,y)=(3x+4y,\,-2x,\;x+2y)
[\mathrm{f}]=\begin{pmatrix} 3 & 4\\\\ -2 & 0\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix}

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