Seja f a TL definida por
e
. Encontre
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas imagens de vetores da base canônica de
:
-
. -
.
O que precisa ser encontrado:
- A expressão de
para um vetor genérico . - A matriz
da transformação linear em relação às bases canônicas (matriz ).
Passo 2
Lembrete importante (definição e propriedade que vamos usar): uma transformação linear
satisfaz, para quaisquer vetores
e escalar
,
Qualquer vetor
pode ser escrito como combinação linear da base canônica:
Pela linearidade, então vale
Ou seja, basta multiplicar cada imagem dada pelo coeficiente correspondente e somar componente a componente.
Passo 3
Agora aplico a fórmula com as imagens fornecidas. Substituindo
e
,
Faço a soma componente a componente:
- Primeira componente:
. - Segunda componente:
. - Terceira componente:
.
Portanto,
Passo 4
Agora construo a matriz
relativa às bases canônicas. Regra: a
-ésima coluna da matriz é
aplicada ao
-ésimo vetor da base canônica de
. Aqui:
- primeira coluna =
, - segunda coluna =
.
Assim a matriz
é
Passo 5
Verificação rápida e interpretação prática:
- Multiplicando a matriz por um vetor coluna
obtém-se exatamente :
- Exemplo numérico: para
,