Para cada uma das sequências, indique qual o número que se segue e descubra o termo geral.
110,105,100,95, \ldots.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
110,\;105,\;100,\;95,\;\ldots
O que se pede:
  • qual é o número que vem a seguir;
  • descobrir o termo geral da sequência (uma fórmula para o n-ésimo termo).
Informações explícitas que temos:
  • a_1=110,
  • a_2=105,
  • a_3=100,
  • a_4=95.

Passo 2

Vamos observar como os termos mudam de um para o outro calculando as diferenças entre termos consecutivos:
a_2-a_1 = 105-110 = -5,
a_3-a_2 = 100-105 = -5,
a_4-a_3 = 95-100 = -5.
As diferenças são todas iguais a -5. Isso é uma pista clara do tipo de sequência.

Passo 3

Explicando o conceito: uma sequência aritmética (PA) é aquela em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Essa diferença constante chama-se razão e costuma ser denotada por d. Para uma PA vale, para todo n\ge2,
a_n-a_{n-1}=d.
A partir disso, os primeiros termos podem ser escritos como:
a_1,\quad a_2=a_1+d,\quad a_3=a_1+2d,\quad a_4=a_1+3d,\\ \ldots
Daí surge a fórmula geral da PA:
a_n = a_1 + (n-1)d,
onde:
  • a_n é o n-ésimo termo que queremos achar,
  • a_1 é o primeiro termo dado,
  • d é a razão (diferença constante),
  • n é o índice do termo (um inteiro positivo).

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: identificamos a_1=110 e d=-5. Substituindo na fórmula geral:
a_n = 110 + (n-1)(-5).
Agora simplifico passo a passo:
a_n = 110 -5(n-1),
a_n = 110 -5n +5,
a_n = 115 -5n.
Portanto o termo geral está achado.

Passo 5

Para obter o próximo termo basta avaliar o termo com n=5 (ou continuar subtraindo 5 do último termo conhecido). Usando a fórmula:
a_5 = 115 -5\cdot 5 = 115 -25 = 90.
Cheque rápido: para n=1,2,3,4 a fórmula dá 115-5\cdot1=110, 115-5\cdot2=105, 115-5\cdot3=100, 115-5\cdot4=95, batendo com os termos dados.

Passo 6

Dica prática para prova: ao ver termos decrescentes com diferença constante, pense imediatamente em PA. Use a_n=a_1+(n-1)d — é rápido de aplicar sem calculadora. Se precisar achar a posição n de um termo conhecido a, inverter a fórmula dá:
n=\frac{115-a}{5}.

Resposta

90
a_n = 115 - 5n

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