Para cada uma das sequências, indique qual o número que se segue e descubra o termo geral.
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede duas coisas:
- qual é o próximo número da sequência;
- uma expressão para o termo geral (ou seja, uma fórmula para o
-ésimo termo).
Informações fornecidas: os quatro primeiros termos são
Passo 2
Vamos examinar as diferenças entre termos consecutivos — isso é a forma mais direta de ver o padrão aqui. Calcular as diferenças:
As três diferenças encontradas são todas iguais a
.
Passo 3
Quando as diferenças entre termos consecutivos são constantes, isso caracteriza uma progressão aritmética (PA). Numa PA, há um número fixo chamado razão, que vamos denotar por
, e vale
Aqui encontramos
. Vou explicar um pouco: pensar na sequência como “cada termo é obtido somando a mesma quantidade ao termo anterior” — no nosso caso, somamos
(ou seja, subtraímos
) a cada passo.
Passo 4
Com a razão
, o próximo termo depois de
é
Portanto o próximo número da sequência é
.
Passo 5
Agora vamos achar o termo geral. A fórmula padrão do
-ésimo termo de uma PA é
onde:
-
é o termo na posição , -
é o primeiro termo da sequência, -
é a razão, -
é um inteiro positivo ( ).
Substituindo
e
obtemos
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Distribuindo o
:
Somando
:
Essa é uma forma simplificada do termo geral. Podemos verificar com
:
confere com os termos dados.
Passo 6
Resumo didático e dicas para a prova:
- Se as diferenças consecutivas são iguais, é PA. Calcule as diferenças para confirmar.
- Use sempre
para construir o termo geral; depois simplifique se quiser. - Se pedirem o termo seguinte, calcule
. - Exemplo extra rápido: se tivesse
as diferenças são , então , próximo termo e .