Para cada uma das sequências, indique qual o número que se segue e descubra o termo geral.
167,140,113,86, \ldots.

Passo 1

O enunciado dá a sequência 167,140,113,86,\ldots e pede duas coisas:
  • qual é o próximo número da sequência;
  • uma expressão para o termo geral (ou seja, uma fórmula para o n-ésimo termo).
Informações fornecidas: os quatro primeiros termos são
a_1=167,\quad a_2=140,\quad a_3=113,\quad a_4=86.

Passo 2

Vamos examinar as diferenças entre termos consecutivos — isso é a forma mais direta de ver o padrão aqui. Calcular as diferenças:
a_2-a_1 = 140-167 = -27,
a_3-a_2 = 113-140 = -27,
a_4-a_3 = 86-113 = -27.
As três diferenças encontradas são todas iguais a -27.

Passo 3

Quando as diferenças entre termos consecutivos são constantes, isso caracteriza uma progressão aritmética (PA). Numa PA, há um número fixo chamado razão, que vamos denotar por d, e vale
d=a_{n+1}-a_n\quad\text{para todo }n.
Aqui encontramos d=-27. Vou explicar um pouco: pensar na sequência como “cada termo é obtido somando a mesma quantidade ao termo anterior” — no nosso caso, somamos -27 (ou seja, subtraímos 27) a cada passo.

Passo 4

Com a razão d=-27, o próximo termo depois de a_4=86 é
a_5 = a_4 + d = 86 + (-27) = 59.
Portanto o próximo número da sequência é 59.

Passo 5

Agora vamos achar o termo geral. A fórmula padrão do n-ésimo termo de uma PA é
a_n = a_1 + (n-1)\,d,
onde:
  • a_n é o termo na posição n,
  • a_1 é o primeiro termo da sequência,
  • d é a razão,
  • n é um inteiro positivo ( n\ge1).
Substituindo a_1=167 e d=-27 obtemos
a_n = 167 + (n-1)(-27).
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
a_n = 167 -27(n-1).
Distribuindo o -27:
a_n = 167 -27n +27.
Somando 167+27:
a_n = 194 -27n.
Essa é uma forma simplificada do termo geral. Podemos verificar com n=1,2,3,4:
a_1 = 194-27\cdot1 = 167,\quad a_4 = 194-27\cdot4 = 194-108=86,
confere com os termos dados.

Passo 6

Resumo didático e dicas para a prova:
  • Se as diferenças consecutivas são iguais, é PA. Calcule as diferenças para confirmar.
  • Use sempre a_n=a_1+(n-1)d para construir o termo geral; depois simplifique se quiser.
  • Se pedirem o termo seguinte, calcule a_{k+1}=a_k+d.
  • Exemplo extra rápido: se tivesse 10,7,4,\ldots as diferenças são -3, então d=-3, próximo termo 1 e a_n=10-3(n-1)=13-3n.

Resposta

59
a_n = 194 -27n,\\ n\ge1

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