Para cada uma das sequências, indique qual o número que se segue e descubra o termo geral.
1,4,9,16, \ldots.

Passo 1

O enunciado dá a sequência 1,4,9,16,\ldots e pede duas coisas:
  • qual é o número que se segue (o próximo termo);
  • descobrir o termo geral da sequência (uma fórmula que dê o n-ésimo termo).
Informações explícitas que temos:
  • a_1=1
  • a_2=4
  • a_3=9
  • a_4=16

Passo 2

Observação direta: cada termo coincide com quadrados perfeitos conhecidos:
  • 1=1^2
  • 4=2^2
  • 9=3^2
  • 16=4^2
A hipótese natural é que o n-ésimo termo seja n^2. Se isso for verdade, o próximo termo (quando n=5) será 5^2=25. Vamos agora confirmar essa hipótese de forma mais sistemática.

Passo 3

Método das diferenças finitas (uma forma confiável de identificar polinômios):
Calcule as primeiras diferenças entre termos consecutivos:
\begin{aligned} \Delta_1 &= a_2-a_1 = 4-1 = 3,\\\ \Delta_2 &= a_3-a_2 = 9-4 = 5,\\\ \Delta_3 &= a_4-a_3 = 16-9 = 7. \end{aligned}
Essas primeiras diferenças são 3,5,7. Agora as diferenças das diferenças (segundas diferenças):
\begin{aligned} \Delta^2_1 &= \Delta_2-\Delta_1 = 5-3 = 2,\\\ \Delta^2_2 &= \Delta_3-\Delta_2 = 7-5 = 2. \end{aligned}
Como as segundas diferenças são constantes ( 2), isso indica que a sequência é dada por um polinômio em n de grau 2 (ou seja, da forma an^2+bn+c).

Passo 4

Assuma que o termo geral tem a forma
a_n = an^2 + bn + c.
Use os três primeiros termos para determinar a,b,c:
\begin{cases} a(1)^2 + b(1) + c = 1,\\[6pt] a(2)^2 + b(2) + c = 4,\\[6pt] a(3)^2 + b(3) + c = 9. \end{cases}
Ou seja,
\begin{cases} a + b + c = 1,\\[4pt] 4a + 2b + c = 4,\\[4pt] 9a + 3b + c = 9. \end{cases}]

Passo 5

Resolva o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(4a+2b+c)-(a+b+c)=3a+b=3.
Subtraindo a segunda da terceira:
(9a+3b+c)-(4a+2b+c)=5a+b=5.
Agora subtraindo essas duas equações:
(5a+b)-(3a+b)=2a=2 \quad\Rightarrow\quad a=1.
Substituindo a=1 em 3a+b=3:
3\cdot1+b=3 \quad\Rightarrow\quad b=0.
Substituindo a=1,b=0 em a+b+c=1:
1+0+c=1 \quad\Rightarrow\quad c=0.
Portanto
a_n = 1\cdot n^2 + 0\cdot n + 0 = n^2.

Passo 6

Confirmação via recorrência: a diferença entre dois quadrados consecutivos é
(n+1)^2 - n^2 = 2n+1,
logo a sequência satisfaz
a_{n+1}=a_n + 2n+1,
com a_1=1. A partir de a_4=16 temos a_5 = 16 + 2\cdot4 +1 = 16+9=25, compatível com a_5=5^2.

Resposta

25
a_n = n^2 \quad (n\ge 1)

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