Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}
e pergunta se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
Informações relevantes que já temos: os termos gerais \dfrac{n^{n}}{n!} são positivos para todo n. Portanto, convergência absoluta equivale a convergência simples (não existe diferença entre absoluta e simples quando todos os termos são não-negativos).

Passo 2

Vou usar o Teste da Razão (teste de D’Alembert). Justifico a escolha: o termo envolve uma potência n^{n} e um fatorial n!; em situações com fatoriais e potências o teste da razão costuma simplificar bem o quociente \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e dar um limite explícito. (O Teste da Raiz também poderia ser tentado, mas a razão é mais direta aqui.)
Enunciado do Teste da Razão (forma prática): para a_n>0 defina
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1 a série \sum a_n converge.
  • Se L>1 a série diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui tomamos
a_n=\frac{n^{n}}{n!}.

Passo 3

Calculo do quociente \dfrac{a_{n+1}}{a_n}, desenvolvendo passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^{n}}{n!}} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^{n}}.
Simplificando o fatorial (n+1)!=(n+1)\,n! e cancelando n!:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)\,n^{n}} = \frac{(n+1)^{\,n}}{n^{n}} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.

Passo 4

Avalio o limite do quociente:
L=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e.
Aqui usei o limite famoso \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e (constante de Euler), conhecido e frequentemente usado em provas e exercícios. O valor e é aproximadamente 2{,}718\ldots.
Como L=e>1, pelo Teste da Razão a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{n}}{n!} diverge. Como os termos são todos positivos, não há convergência condicional nem absoluta — a série é simplesmente divergente.

Resposta

Divergente.

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