Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pergunta se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
Informações relevantes que já temos: os termos gerais são positivos para todo
. Portanto, convergência absoluta equivale a convergência simples (não existe diferença entre absoluta e simples quando todos os termos são não-negativos).
Informações relevantes que já temos: os termos gerais
Passo 2
Vou usar o Teste da Razão (teste de D’Alembert). Justifico a escolha: o termo envolve uma potência
e um fatorial
; em situações com fatoriais e potências o teste da razão costuma simplificar bem o quociente
e dar um limite explícito. (O Teste da Raiz também poderia ser tentado, mas a razão é mais direta aqui.)
Enunciado do Teste da Razão (forma prática): para defina
Enunciado do Teste da Razão (forma prática): para
- Se
a série converge. - Se
a série diverge. - Se
o teste é inconclusivo.
Aqui tomamos
Passo 3
Calculo do quociente
, desenvolvendo passo a passo:
Simplificando o fatorial
e cancelando
:
Passo 4
Avalio o limite do quociente:
Aqui usei o limite famoso
(constante de Euler), conhecido e frequentemente usado em provas e exercícios. O valor
é aproximadamente
.
Como , pelo Teste da Razão a série
diverge. Como os termos são todos positivos, não há convergência condicional nem absoluta — a série é simplesmente divergente.
Como
Resposta
Divergente.