Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado. \quad \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n^{2}-1}}
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série e justificar o teste usado. A série dada é
Precisa-se decidir se a série é: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e justificar os testes usados.
Passo 2
Vou testar primeiro a convergência absoluta. Definição: uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série de termos absolutos \sum |a_n| converge. Aqui
|a_n|=\frac{1}{\sqrt{n^{2}-1}}.
Comparemos \sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{\sqrt{n^2-1}} com a série harmônica \sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{n}, que diverge. Usarei o Teste da Comparação por Limite (limit comparison test): se \lim_{n\to\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=L com 0<L<\infty, então \sum u_n e \sum v_n têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
Como o limite é 1 (um número positivo e finito) e \sum \dfrac{1}{n} diverge, segue que
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^{2}-1}}
também diverge. Portanto a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Agora testarei a convergência condicional (ou seja, se a série converge apesar de não ser absolutamente convergente). Como a série é alternada, uso o Teste de Leibniz (Alternating Series Test). Enunciado do teste (em linguagem simples): se b_n é uma sequência positiva tal que (i) b_{n+1}\le b_n para todo n suficientemente grande (sequência monotonamente decrescente) e (ii) \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série \sum (-1)^n b_n converge.
Como \sqrt{1-1/n^{2}}\to 1 quando n\to\infty, segue que b_n\sim 1/n e, em particular,
\lim_{n\to\infty} b_n = 0.
(ii) Verificar que b_n é decrescente para n\ge2.
Considere a função contínua associada f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} definida para x>1. Calcule a derivada:
f'(x)=-\frac{x}{(x^{2}-1)^{3/2}}.
Para x>1 tem-se f'(x)<0, ou seja, f é estritamente decrescente em (1,\infty). Portanto, para inteiros n\ge2 a sequência b_n=f(n) é decrescente: b_{n+1}<b_n.
Como ambas as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas, a série alternada