Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n)}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{n^{3}}.
O que se pede: determinar se essa série é (i) absolutamente convergente, (ii) condicionalmente convergente, ou (iii) divergente, e justificar qual teste foi usado.
Informações fornecidas e observações imediatas que vêm do enunciado:
  • Os termos são \dfrac{\sin(n)}{n^{3}} para n=1,2,3,\dots.
  • Sabe-se que \sin(n) é limitado: para todo n vale |\sin(n)|\le 1.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar (com calma) o que significam os conceitos que precisamos aplicar.
Definição de convergência absoluta:
\text{Uma série } \sum a_n \text{ é absolutamente convergente se } \sum |a_n| \text{ converge.}éé
Definição de convergência condicional:
\text{A série } \sum a_n \text{ é condicionalmente convergente se } \sum a_n \text{ converge mas } \sum |a_n| \text{ diverge.}éé
Importante: se uma série é absolutamente convergente, então ela é convergente (a convergência absoluta implica convergência). Portanto, para decidir, um caminho natural é testar a convergência da série com termos absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{\sin(n)}{n^{3}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin(n)|}{n^{3}}.

Passo 3

Vamos analisar a série dos módulos \sum \dfrac{|\sin(n)|}{n^{3}}. Use a desigualdade simples que vale para todo n:
|\sin(n)|\le 1.
Dividindo por n^{3}>0 obtém-se
\frac{|\sin(n)|}{n^{3}}\le \frac{1}{n^{3}}.
Aqui entra o teste de comparação (forma direta):
  • Se 0\le a_n\le b_n para todo n a partir de algum N e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
    Aplicando com a_n=\dfrac{|\sin(n)|}{n^{3}} e b_n=\dfrac{1}{n^{3}}, temos a desigualdade acima para todo n.

Passo 4

Agora lembramos um fato padrão (que vale ser citado e que é usual em provas): a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=3>1, portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}
converge (por exemplo, pode-se justificar rapidamente com o teste da integral: \int_{1}^{\infty} x^{-3}\,dx=\tfrac{1}{2}<\infty).
Então, pela comparação do Passo 3, a série dos módulos converge:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin(n)|}{n^{3}} \quad\text{converge.}

Passo 5

Como a série dos módulos converge, a série original é absolutamente convergente. Lembrete final: a convergência absoluta implica convergência, então não há necessidade de procurar testes mais delicados (como Dirichlet ou Abel) — a comparação com a p-série já resolve o problema de forma direta e robusta.

Resposta

Absolutamente convergente

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