Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \sqrt{n}}{n+5}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\sqrt{n}}{n+5}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando o teste usado.
Informações dadas:
  • O termo geral é (-1)^{n}\dfrac{\sqrt{n}}{n+5}.
  • A parte positiva (módulo) do termo é a_n:=\dfrac{\sqrt{n}}{n+5}.
  • A série é alternante por causa do fator (-1)^n.
O que se pede:
  • Testar a convergência absoluta: verificar se \sum_{n=1}^{\infty} |(-1)^{n}\dfrac{\sqrt{n}}{n+5}| converge.
  • Testar a convergência (alternada): verificar se \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\dfrac{\sqrt{n}}{n+5} converge.
  • Concluir se a convergência (se houver) é absoluta ou condicional, com justificativas dos testes usados.

Passo 2

Teste de convergência absoluta — escrever a série dos módulos e escolher um teste apropriado.
A série dos módulos é
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n}\sqrt{n}}{n+5}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+5}.
Uma boa comparação é com a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}}, que é uma p-série com p=\tfrac{1}{2}. Lembrando: a p-série \sum n^{-p} converge se, e só se, p>1. Aqui p=\tfrac{1}{2}\le1, logo \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} diverge.
Vou aplicar o teste da comparação por limite (limit comparison test) entre b_n:=\dfrac{\sqrt{n}}{n+5} e c_n:=\dfrac{1}{\sqrt{n}}. O teste diz: se
\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{c_n}=L
com 0<L<\infty, então \sum b_n e \sum c_n têm o mesmo comportamento (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem).
Calcular o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{\sqrt{n}}{n+5}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+5} = 1.
Como o limite é 1 (um número finito e positivo) e sabemos que \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} diverge, pelo teste da comparação por limite concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+5}
também diverge. Portanto a série original NÃO é absolutamente convergente.
(Resumo do que usei aqui: defini b_n e comparei com uma p-série conhecida; calculei o limite das razões e usei o resultado do teste da comparação por limite.)

Passo 3

Verificar se a série alternada converge — preparar as condições do teste de Leibniz (alternating series test).
O teste de Leibniz afirma: se (a_n) é uma sequência de números positivos tal que
  1. a_n \searrow 0 (isto é, a_n é monotona não crescente a partir de algum N e \lim_{n\to\infty} a_n = 0),
    então a série alternada \sum (-1)^n a_n converge.
Aqui tomo a_n:=\dfrac{\sqrt{n}}{n+5} (positivo para n\ge1). Preciso checar duas coisas: (i) \lim_{n\to\infty} a_n = 0; (ii) a_n é eventualmente decrescente.

Passo 4

Mostrar que \lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Para ver isso, faço uma manipulação simples:
a_n=\frac{\sqrt{n}}{n+5} = \frac{1}{\sqrt{n} + \dfrac{5}{\sqrt{n}}}.
Quando n\to\infty, \sqrt{n}\to\infty e \dfrac{5}{\sqrt{n}}\to 0, então o denominador tende a +\infty, logo
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
(Outra maneira: observar que para grandes n o numerador cresce como n^{1/2} e o denominador como n, então a razão é da ordem n^{-1/2}\to0.)

Passo 5

Mostrar que a_n é decrescente para n suficientemente grande.
Para provar monotonicidade, considero a função contínua
f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+5},\qquad x>0,
e calculo a derivada f'(x). Usando regra do quociente e derivada de \sqrt{x}:
f'(x)=\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x+5)-\sqrt{x}\cdot 1}{(x+5)^2}.
Simplificando o numerador:
\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x+5)-\sqrt{x} = \frac{x+5-2x}{2\sqrt{x}} = \frac{5-x}{2\sqrt{x}}.
Portanto
f'(x)=\frac{5-x}{2\sqrt{x}\,(x+5)^2}.
Note que para x>5 o numerador 5-x é negativo, enquanto o denominador é positivo; logo f'(x)<0 para todo x>5. Isso mostra que f é estritamente decrescente em (5,\infty). Como a_n=f(n), segue que a_n é decrescente para n\ge6.
Assim as duas condições do teste de Leibniz estão satisfeitas a partir de n=6: os termos são positivos, monotona decrescente a partir de 6 e tendem a 0.

Passo 6

Aplicar o teste de Leibniz e concluir sobre a convergência da série alternada.
Pelas observações anteriores, a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{\sqrt{n}}{n+5}
satisfez as hipóteses do teste de Leibniz (pelo menos a partir de n=6; isso basta porque truncar um número finito de termos não altera a convergência). Logo essa série converge.
Combinação dos resultados:
  • A série dos módulos diverge (Passo 2) ⇒ não é absolutamente convergente.
  • A série alternada converge (Passo 6) ⇒ é convergente.
Portanto a convergência é condicional.
Um exemplo para fixar a ideia: a série alternada harmônica \sum (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n} também converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente, pois \sum \dfrac{1}{n} diverge. O comportamento aqui é análogo: os módulos decrescem para zero, mas não são somáveis.

Resposta

Condicionalmente convergente.

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