Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como sendo “Absolutamente Convergente”, “Condicionalmente Convergente” ou “Divergente”, justificando o teste usado.
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - Para todo
tem-se (todos os termos são positivos).
Passo 2
Primeiro, algumas definições e testes que vou usar (explicados de forma simples):
Definições
- Uma série
é absolutamente convergente se converge. - Se
converge mas diverge, diz-se condicionalmente convergente. - Se
diverge, então é divergente.
Observação útil aqui: como todos os
são positivos, temos
. Logo, para séries de termos positivos, “convergência” e “convergência absoluta” coincidem: se a série converge, ela é automaticamente absolutamente convergente.
Testes (explicação curta)
- Teste da Comparação Direta: se
para todo suficiente e converge, então converge. Intuição: termos menores que os de uma série convergente também somam um total finito. - Série geométrica básica:
converge se (soma finita) e diverge se . Em particular é uma série geométrica convergente, porque .
Passo 3
Comparação simples entre os termos:
Para todo
vale
portanto
Como já recordado, a série geométrica
converge (razão
). Pelo teste da comparação direta, como
e a série à direita converge, segue que
converge.
Passo 4
Conclusão sobre o tipo de convergência:
- Como a série converge e todos os termos são positivos, a série é absolutamente convergente (lembre que para termos positivos convergência implica convergência absoluta).
- Não há possibilidade de convergência condicional aqui (essa categoria só aparece quando a série converge mas a série dos valores absolutos diverge — o que não é o caso).
Resposta
Absolutamente convergente.