Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^{n}+n}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}+n}
como sendo “Absolutamente Convergente”, “Condicionalmente Convergente” ou “Divergente”, justificando o teste usado.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{1}{4^{n}+n}.
  • Para todo n\ge 1 tem-se a_n>0 (todos os termos são positivos).

Passo 2

Primeiro, algumas definições e testes que vou usar (explicados de forma simples):
Definições
  • Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge.
  • Se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge, diz-se condicionalmente convergente.
  • Se \sum a_n diverge, então é divergente.
Observação útil aqui: como todos os a_n são positivos, temos |a_n|=a_n. Logo, para séries de termos positivos, “convergência” e “convergência absoluta” coincidem: se a série converge, ela é automaticamente absolutamente convergente.
Testes (explicação curta)
  • Teste da Comparação Direta: se 0\le a_n\le b_n para todo n suficiente e \sum b_n converge, então \sum a_n converge. Intuição: termos menores que os de uma série convergente também somam um total finito.
  • Série geométrica básica: \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge se |r|<1 (soma finita) e diverge se |r|\ge1. Em particular \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{4^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n} é uma série geométrica convergente, porque \dfrac{1}{4}<1.

Passo 3

Comparação simples entre os termos:
Para todo n\ge 1 vale
4^{n}+n \ge 4^{n},
portanto
\frac{1}{4^{n}+n}\le \frac{1}{4^{n}}.
Como já recordado, a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}}
converge (razão \dfrac{1}{4}). Pelo teste da comparação direta, como 0\le a_n\le \dfrac{1}{4^{n}} e a série à direita converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}+n}
converge.

Passo 4

Conclusão sobre o tipo de convergência:
  • Como a série converge e todos os termos são positivos, a série é absolutamente convergente (lembre que para termos positivos convergência implica convergência absoluta).
  • Não há possibilidade de convergência condicional aqui (essa categoria só aparece quando a série converge mas a série dos valores absolutos diverge — o que não é o caso).

Resposta

Absolutamente convergente.

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