Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para classificar se ela é: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando o teste usado. Informação relevante fornecida: os termos são positivos para todo
porque
e
.
Passo 2
Observação importante (útil na prova): quando todos os termos de uma série são positivos, a convergência da série usual e da série de valores absolutos coincidem. Em outras palavras, para séries com termos positivos, “convergência” implica “convergência absoluta” automaticamente, e não existe convergência condicional. Portanto aqui basta testar convergência (positiva) da série original; se convergir, é absolutamente convergente.
Passo 3
Estratégia para testar convergência: comparar com uma série conhecida. Para
grande, o termo geral se comporta como
A série
é a série-p com
e sabe-se que ela converge (porque
). Isso sugere usar o Teste da Comparação Limite (Teste da Comparação Límitada / Limit Comparison Test) com
.
Passo 4
Explicando o Teste da Comparação Limite (do jeito que vale na prova): dadas duas sequências positivas
e
, se
existir e
, então as séries
e
são ambas convergentes ou ambas divergentes. Aqui escolhemos
Passo 5
Calcular o limite do quociente:
Agora o limite quando
:
Portanto
, que é um número finito e positivo.
Passo 6
Conclusão do teste: como
e a série comparadora
converge (série-p com
), pelo Teste da Comparação Limite a série
também converge.
Passo 7
Retomando a observação do Passo 2: os termos são todos positivos, então a convergência obtida é também convergência absoluta. Não há convergência condicional nesse caso.
Resposta
Absolutamente Convergente.