Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+4}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+4}
e pede para classificar se ela é: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando o teste usado. Informação relevante fornecida: os termos são positivos para todo n\ge1 porque n>0 e n^{3}+4>0.

Passo 2

Observação importante (útil na prova): quando todos os termos de uma série são positivos, a convergência da série usual e da série de valores absolutos coincidem. Em outras palavras, para séries com termos positivos, “convergência” implica “convergência absoluta” automaticamente, e não existe convergência condicional. Portanto aqui basta testar convergência (positiva) da série original; se convergir, é absolutamente convergente.

Passo 3

Estratégia para testar convergência: comparar com uma série conhecida. Para n grande, o termo geral se comporta como
\frac{n}{n^{3}+4}\sim\frac{n}{n^{3}}=\frac{1}{n^{2}}.
A série \sum \dfrac{1}{n^{2}} é a série-p com p=2 e sabe-se que ela converge (porque p>1). Isso sugere usar o Teste da Comparação Limite (Teste da Comparação Límitada / Limit Comparison Test) com b_n=\dfrac{1}{n^{2}}.

Passo 4

Explicando o Teste da Comparação Limite (do jeito que vale na prova): dadas duas sequências positivas (a_n) e (b_n), se
\ell=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existir e 0<\ell<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n são ambas convergentes ou ambas divergentes. Aqui escolhemos
a_n=\frac{n}{n^{3}+4},\qquad b_n=\frac{1}{n^{2}}.

Passo 5

Calcular o limite do quociente:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\dfrac{n}{n^{3}+4}}{\dfrac{1}{n^{2}}} =\frac{n}{n^{3}+4}\cdot n^{2} =\frac{n^{3}}{n^{3}+4}.
Agora o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{3}+4} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\dfrac{4}{n^{3}}} =1.
Portanto \ell=1, que é um número finito e positivo.

Passo 6

Conclusão do teste: como \ell=1 e a série comparadora \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n^{2}} converge (série-p com p=2>1), pelo Teste da Comparação Limite a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{3}+4}
também converge.

Passo 7

Retomando a observação do Passo 2: os termos são todos positivos, então a convergência obtida é também convergência absoluta. Não há convergência condicional nesse caso.

Resposta

Absolutamente Convergente.

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