1.7 Para cada um dos sinais dados a seguir, determine todos os valores da variável independente para os quais a parte par do sinal seja garantidamente zero.
x_{1}[n]=u[n]-u[n-4]

Passo 1

O enunciado pede para o sinal discreto
x_{1}[n]=u[n]-u[n-4]
que é um pulso de amplitude unitária para 0\le n\le3, e zero caso contrário, encontrarmos todos os valores de n tais que a parte par
x_{e}[n]=\frac{x_{1}[n]+x_{1}[-n]}{2}
seja garantidamente zero. Vamos usar definição de parte par e suporte do sinal.

Passo 2

Para ver onde x_{1}[n]\) é não nulo, note que \[u[n]= \begin{cases} 1, & n\ge0,\\\\ 0, & n<0, \end{cases}
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x_{1}[n]= \begin{cases} 1, & 0\le n<4,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á
Em particular, x_{1}[n]=1\] só em \(n=0,1,2,3 e vale zero para qualquer outro n.

Passo 3

Pela definição, a parte par é
x_{e}[n]=\frac{x_{1}[n]+x_{1}[-n]}{2}.
Para que x_{e}[n]=0 precisamos de
x_{1}[n]+x_{1}[-n]=0.
Como x_{1}[\cdot] só assume valores 0 ou 1, essa soma só pode ser zero se simultaneamente
x_{1}[n]=0 \quad\text{e}\quad x_{1}[-n]=0.

Passo 4

A condição x_{1}[n]=0 significa n\notin\{0,1,2,3\}, ou seja n\notin[0,3].
A condição x_{1}[-n]=0 significa -n\notin[0,3], ou seja n\notin[-3,0].
Para satisfazer as duas, precisamos de
n\notin[0,3]\quad\text{e}\quad n\notin[-3,0],
o que é equivalente a
n\notin[-3,3].

Resposta

A parte par de x_{1}[n] é zero para todos os inteiros
n\le -4 \quad\text{ou}\quad n\ge 4,
isto é, para \{n\in\mathbb{Z}:|n|\ge4\}.

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